Plussymbol (Addition) "gottgegeben"?

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T.rak92 Auf diesen Beitrag antworten »
Plussymbol (Addition) "gottgegeben"?
Meine Frage:
Hi,

in der Mathematik kann man ja fast alles aus den elementarsten Axiomen herleiten, sodass man möglichst wenig als gegeben betrachten muss. Ich kenne den Auspruch, dass die natürlichen Zahlen "gottgegeben" sind (mir ist aber bewusst, dass man Sie auch mit den Peano-Axiomen charakterisieren und ihre Existenz mit der Neumann-Methode beweisen/herleiten kann).Es werden ja viele Konzepte (Gruppen, Körper, Vektorräume) über die Addition definiert, Sie selbst ist aber immer vorausgesetzt. Mir ist bekannt, dass es eine Plusfunktion gibt die (x,y) den Wert x+y zuordnet, aber in der Funktion ist das Plus als Symbol schon drin d.h. wenn man das Plus über die Funktion definieren will, bräuchte man eine Tabelle, wo für jedes Tupel der Wert angegeben ist.Meine Frage ist, ob man das Konzept der Addition auch aus noch elemnentareren Überlegungen gewinnen kann, oder ob man diese als "gottgegeben" ansehen muss.

Meine Ideen:
Ideen hierzu habe ich leider keine wirklichen.Ich kann sehen, dass man eine gewisse Art der Addition erhält, wenn man Mengen vereinigt. Nimmt man dann z.B. die Menge mit der leeren Menge und vereinigt diese mit einer weiteren Menge mit der leeren Menge, dann hat man eine Menge, wo die Mengen mit der leeren Menge drin sind, also letzendlich mehr Mengen, aber ob das wirklich zielführend ist...
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Plussymbol (Addition) "gottgegeben"?
Zitat:
Original von T.rak92

Meine Ideen:
Ideen hierzu habe ich leider keine wirklichen.Ich kann sehen, dass man eine gewisse Art der Addition erhält, wenn man Mengen vereinigt. Nimmt man dann z.B. die Menge mit der leeren Menge und vereinigt diese mit einer weiteren Menge mit der leeren Menge, dann hat man eine Menge, wo die Mengen mit der leeren Menge drin sind, also letzendlich mehr Mengen, aber ob das wirklich zielführend ist...
Doch, das ist zielführend, zumindest basiert darauf die Charakterisierung der natürlichen Zahlen.

In der elementarsten Form wird erzeugt von der Konstante und der Funktion , die einer natürlichen Zahl ihren Nachfolger zuordnet.

Darüber kannst du dann die Addition definieren.

Du brauchst jeweils noch gewisse Axiome, die dir das Ganze definieren.

Hoffe das beantwortet deine Frage.
Trak92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe immer noch einige Unklarheiten.

Meine Frage wäre, wie man denn die Addition gewinnen könnte wenn man sie vorher nicht zu verfügung hat.

Soweit ich weiss, basieren die Peano-Axiome, die du erwähnt hast auch indirekt auf der Addition, man ordnet ja jeder zahl von Null aufsteigend eine um 1 größere zahl zu, aber für mich hieße das ja, dass man indirekt 1 dazu addiert. Wenn man aber das konzept des hinzufügens also der Addition nicht hätte, würde man eine nächste zahl ja gar nicht definieren können oder?
Gast12462 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt nicht wirklich um eins dazu addieren, sondern eben um einen nachfolger. Und dann definierst du die Addition über dieses prinzip des nachfolgers (peano axiome)
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Trak92
Soweit ich weiss, basieren die Peano-Axiome, die du erwähnt hast auch indirekt auf der Addition, man ordnet ja jeder zahl von Null aufsteigend eine um 1 größere zahl zu, aber für mich hieße das ja, dass man indirekt 1 dazu addiert. Wenn man aber das konzept des hinzufügens also der Addition nicht hätte, würde man eine nächste zahl ja gar nicht definieren können oder?
Du definierst dir im Grunde Folgendes:
-eine Menge
-eine Konstante
-eine Abbildung

Dazu definierst du dir das Axiom, dass du durch die Funktion alle natürlichen Zahlen erreichen kannst.

Klar soweit?
Trak92 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe mir gerade eben nochmal kurz auf Wikipedia die Peano-Axiome und seine definition der addition durchgelesen, und ich denke, dass ich jetzt meine Frage klarer formulieren kann:

Mir ist bewusst dass die axiome, die die natürlich zahlen charakterisieren so vorgehen, dass man sagt die Null ist drin und jeder Nachfolger ist drin...

Die Nachfolger kann man ja dann beliebig nennen d.h. Nachfolger von Null ist 1, von 1 ist 2, usw. das ist mir alles verständlich, nur ist dann die Addition rekursiv definiert durch:



Das heisst für mich n+Nachfolger von m = Nachfolger von n+m

Nehmen wir also n=1, m=2

dann steht da:



Mein Problem ist jetzt, dass man wenn man die zahl (n+m) kennen würde. man natürlich auch ihren Nachfolger kennt, aber man kennt ja noch nicht die Addition, also müsste man das (n+m) wieder zerlegen, bis man irgendwann einen Ausdruck erhält wo nur n und Null steht, aber wie man das genau macht, das versuche ich mir zwar vorzustellen, aber ich kriege das noch nicht so ganz hin..

Wenn du mir da weiterhelfen könnstes wäre toll.

Danke erstmal, dass su überhaupt dir die mühe gemacht hast zu antworten...
 
 
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Trak92
Mein Problem ist jetzt, dass man wenn man die zahl (n+m) kennen würde. man natürlich auch ihren Nachfolger kennt, aber man kennt ja noch nicht die Addition, also müsste man das (n+m) wieder zerlegen, bis man irgendwann einen Ausdruck erhält wo nur n und Null steht, aber wie man das genau macht, das versuche ich mir zwar vorzustellen, aber ich kriege das noch nicht so ganz hin..
Du weißt in dem Beispiel aber, dass und durch endliche Anwendung von erhälst, so kommst du also auf den Ausdruch, der irgendwann die Null enthält.

Rechne die Sache mit und doch einfach mal bis zum Ende durch, und poste dann den Rechenweg.
Trak92 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi danke dir erstmal..

Werde es heute später in Ruhe durcharbeiten und dann Morgen posten, hoffentlich verstehe ich es dann auch...
Trak92 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi ich habs gestern Abend noch gemacht, und gemerkt dass es ja eigentlich ganz einfach ist...

Als Beispiel habe ich ein fach mal 4+3 genommen:



Also letzendlich n+m ist der m-te Nachfolger von n bzw. der n-te nachfolger von m.

Hätte mir wohl die Sachen ordentlicher durchlesen sollen...

Danke für deine Hilfe
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