Re{i(4+2i)^6 (4-2i)^6}

04.02.2012, 22:33

hjhk

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Re{i*(4+2*i)^6 *(4-2*i)^6}

Meine Frage:
Es geht nur ums berechnen dieses Terms:

Re{i*(4+2*i)^6 *(4-2*i)^6}

Meine Ideen:
mühselig ausrechnen kann ich das. aber die aufgaben gibts ja auchmit hoch 12 oder hoch sonst was. hat jemand nen trick wie man das schneller ausgerechnet hat als das erstmal zu zerteilen und stück für stück auszurechnen. komm mir nämlich so doof vor wenn ich das mache.

04.02.2012, 22:58

original

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RE: Re{i*(4+2*i)^6 *(4-2*i)^6}
$\begin{eqnarray*} <br /> Re[i*(4+2*i)^6 *(4-2*i)^6] \end{eqnarray*}$ smile

smile

was gibt (4+ 2i)*(4-2i) = ?

und wenn du das dann noch hoch 6 rechnen würdest ... ändert das am Typ ja nichts..

und das jetzt mal i Wink

Wink

alles klar?

04.02.2012, 22:59

hjhk

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RE: Re{i*(4+2*i)^6 *(4-2*i)^6}
ja klar... das versteh ich ja aber das dauert so lange.... bzw ich dahcte es gibt nen schnelleren weg.

vorallem weil die zahlen irgendwann recht groß werden und ohne taschenrechner macht das dann nicht mehr soviel spaß. aber danke

05.02.2012, 10:46

original

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RE: Re{i*(4+2*i)^6 *(4-2*i)^6}

Zitat:

Original von hjhk
ja klar... das versteh ich ja aber das dauert so lange.... bzw ich dahcte es gibt nen schnelleren weg.

vorallem weil die zahlen irgendwann recht groß werden und ohne taschenrechner macht das dann nicht mehr soviel spaß. aber danke

geschockt

Mann - da brauchst du doch gar nichts rechnen
also - da du offenbar nicht genau lesen kannst - hier nochmal ganz langsam:

(4+ 2i)^6 *(4-2i)^6 = [(4+ 2i)*(4-2i)]^6

und das was nun in [ ] steht , also (4+ 2i)*(4-2i)
ist das Betragsquadrat der Zahl (4+ 2i)
also : was für eine Art Zahl ?
und die dann hoch 6 - brauchstse nicht rechnen - es gibt garantiert immer noch eine ...?.. Zahl
-
und welche Art Zahl bekommst, wenn zum Schluss nun mal i gerechnet wird?

und: DAVON NUN DEN REALTEIL - was das wohl gibt? verwirrt

verwirrt

05.02.2012, 14:19

hjhk

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echt klasse deine erklärung. 1000 dank.

noch für alle anderen die vlt das ergebnis wissen wollen

(4+2*i)*(4-2*i) = 20

20^6= 64 00 00 00

das mal i ist eine imaginäre zahl bzw eine komplexe zahl die nur einen imaginären anteil hat. also ist der Realanteil davon 0.

ich hab noch 2 letzte fragen. sie mögen vielleicht komisch klingen, aber wer nicht fragt (und es nicht hinbekommt) bleibt halt dumm. deshalb hoffe ich nochmal auf eine gute antwort und schonmal danke im voraus.

1. Aufgabe:

Re(z/ z*)=0 - Man soll die Menge aller z element C ermitteln. z* soll das konjugierte z mit dem strich drüber sein.

2. Aufgabe:

z^3=8*i - zu lösen und jetzt werden es doch noch 3

3.Aufgabe:

z^4= (-1/2)+(sqrt(3) / 2)*i

danke danke danke

05.02.2012, 15:21

Dopap

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1.) wenn $\begin{eqnarray*} z =\frac {a+bi}{a-bi} \end{eqnarray*}$ dann mit a+bi erweitern , den Realteil bestimmen und Null setzen.

2.) Polardarstellung $\begin{eqnarray*} z= 8e^{i \frac \pi 2 } \end{eqnarray*}$

die erste wurzel ist $\begin{eqnarray*} 2e^{i \frac {\pi}{ 6}} \end{eqnarray*}$

3.) Polardarstellung $\begin{eqnarray*} z = e^{i \frac {2 \pi}{3}} \end{eqnarray*}$

die erste Wurzel ist...

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05.02.2012, 16:02

hjhk

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wie kommt man auf die idee das mit der polarform zu lösen und woher soll ich wissen was die wurzel davon ist? das ist mir iwie unersichtlich!!! tut mir leid

05.02.2012, 16:43

Dopap

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studierst du, oder wie kommst du zu den Aufgaben?

schon mal was von den Formeln von de Moivre gehört?

05.02.2012, 17:32

hjhk

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ja ich studiere. ja hab ich. ist auch kein problem für mich das herzuleiten mit dem e hoch usw aber ich weiß dann trotzdem nicht wie ich die wurzel aus z.b 4e^((pi/4)*i) ziehen soll. und ohne erklärung bleibt es unverständlich

05.02.2012, 18:01

Dopap

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aha! nun gut.

Die Wurzel zieht man, indem man aus dem Betrag die Wurzel zieht. Den Winkel mit der x_Achse wird halbiert und für die 2. Lösung noch \pi im Winkel addiert.

In deinen fall : $\begin{eqnarray*} z=4e^{i \frac \pi 4}= 4( \cos(\frac \pi 4)+ i\cdot \sin (\frac \pi 4)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1&=&2e^{i(\frac \pi 8)}\\ z_2&=&2e^{i(\pi +\frac \pi 8)} \end{eqnarray*}$

bei der dritten wurzel... wird der Winkel gedrittelt und dann ein drittel Vollkreis hinzu und dann nochmal 1/3 Vollkreis hinzu.

d.h bei einer 12. Wurzel entsteht ein Kreis mit Tortencharkter.

05.02.2012, 18:21

original

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hi
mal ganz langsam der Reihe nach:

was hast du denn jetzt rausbekommen bei:

1. Aufgabe:

"Re(z/ z*)=0 - Man soll die Menge aller z element C ermitteln. z* soll das konjugierte z mit dem strich drüber sein."

?

05.02.2012, 18:59

Dopap

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@original: eigentlich hab' ich auf Antwort von hjhk gewartet... dann mach du eben weiter.

05.02.2012, 19:15

original

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Zitat:

Original von Dopap
@original: eigentlich hab' ich auf Antwort von hjhk gewartet... dann mach du eben weiter.

unglücklich

du bist doch längst bei den anderen Aufgaben .. Polarform und so .. da mische ich mich nicht ein.

dass mich schlicht die Antwort auf die noch nicht weiter besprochene Realteil-Aufgabe interessiert ,
ist wohl kein Vergehen? verwirrt

verwirrt

05.02.2012, 19:50

Dopap

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ich kann ja auch nur auf die momentan gestellte Frage eingehen, klar dass die erste Aufgabe noch hängt...
Wenn ein persönliches Interesse vorliegt, dann kann man das ja auch andeuten, so war das eben nicht ersichtlich.

05.02.2012, 21:42

hjhk

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also zu 1 bin ich bei folgender lösung:

Re{z/z*)=Re{(a+bi)/(a-bi)}=Re{[(a+bi)/(a-bi)]*[(a+bi)/(a+bi)]} =Re{ (a^2+2abi+b^2*i^2)/(a^2-b^2*i^2)}

=> (a^2-b^2)/(a^2+b^2) - hier nicht vergessen, dass das ganze ja immer noch gleich 0 sein soll

=>a^2-b^2=0

=> a^2 =b^2 =>a1=b, a2=-b, weil durch das quadrat ja nur der betrag gleich sein muss als |a|=|b|

hoffe das ist richtig? gerne kommentare.

zu Aufgabe 2 und 3

ich habe jetzt so verstanden das man die zahl vor dem cos und sin kram also das |z| einfach daraus die wurzel zieht und das unter dem pi also z.b das pi/4 dann die 4 mit der wertigkeit der wurzel also wenns die dritte wurzel wäre mal 3 in dem fall bei der 2ten wurzel mal 2 usw rechnet. der rest bleibt so? oder kann mir das nochmal genauer erklärt werden?

05.02.2012, 22:10

Dopap

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Zitat:

Original von hjhk

zu Aufgabe 2 und 3

ich habe jetzt so verstanden das man die zahl vor dem cos und sin kram also das |z| einfach daraus die wurzel zieht und das unter dem pi also z.b das pi/4 dann die 4 mit der wertigkeit der wurzel also wenns die dritte wurzel wäre mal 3 in dem fall bei der 2ten wurzel mal 2 usw rechnet. der rest bleibt so? oder kann mir das nochmal genauer erklärt werden?

Ja so ungefähr.

Aufgabe 1 ist in Ordnung.

2.) 3.) komplexe Zahlen haben 2 schreibfiguren:

$\begin{eqnarray*} z= a + bi = \sqrt{a^2+b^2}\cdot e^{i\cdot \arctan (b/a)} \end{eqnarray*}$

letzere geht kurz auch so $\begin{eqnarray*} z=re^{i\varphi} \end{eqnarray*}$

jetzt erkennt man die Polarkoordinaten r=Radius = Betrag, $\begin{eqnarray*} \varphi = \end{eqnarray*}$ Winkel mit x-Achse
--------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a+bi} \end{eqnarray*}$ geht nicht aber $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{re^{i\varphi}} \end{eqnarray*}$

die erste Wurzel

$\begin{eqnarray*} z_1= \sqrt[3]{r}\cdot e^{i \frac {\varphi}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2= \sqrt[3]{r}\cdot e^{i (\frac {\varphi}{3}+\frac {2\pi}{3})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_3= \sqrt[3]{r}\cdot e^{i( \frac {\varphi}{3}+\frac {4\pi}{3})} \end{eqnarray*}$

Puh.. ich hoffe jetzt ist es klar.

05.02.2012, 23:16

hjhk

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wäre dann:

z^4=a+bi

z1=4. wurzel (r) * e^(i*(winkel /4))

z2=4. wurzel (r) * e^(i*((winkel /4) +(2*pi)/4))

usw?

05.02.2012, 23:51

Dopap

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Ja ja ja!

mit $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \rm Winkel = \arctan ({b/a}) \end{eqnarray*}$

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