Galoisgruppe von endlichen Kreiteilungskörpern

04.02.2012, 22:51	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Galoisgruppe von endlichen Kreiteilungskörpern Sei $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ primitive n-te Einheitswurzel und q coprim zu n. Dann hat die Erweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_q(\zeta)/\mathbb{F}_q \end{eqnarray}$ ja den Grad von ord(q), wobei q hier als Element der zyklischen Gruppe $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ aufgefasst wird. Die Galoisgruppe ist dann einfach das Erzeugnis von $\begin{eqnarray} \zeta \mapsto \zeta^q \end{eqnarray}$ , also zyklisch. Damit ist sie eingebettet in $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \end{eqnarray}$ . Meine Frage ist nun die folgende: $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \end{eqnarray}$ ist im Allgemeinen größer als die Galoisgruppe (und auch nicht immer zyklisch, die Galoisgruppe aber schon). Jedoch ist mit jedem Element von $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \end{eqnarray}$ eindeutig ein Gruppenautomorphismus der Gruppe der n-ten Einheitswurzeln beschrieben. Lassen sich diese Automorphismen denn überhaupt nicht zu Körperautomorphismen fortsetzen oder würden sie einfach nur einen kleineren Fixkörper haben als $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_q \end{eqnarray}$ ?

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