Reihenwert beweisen

04.02.2012, 23:55

MatheUSer

Reihenwert beweisen

Hallo Forum, bin auf folgende Aufgabe gestossen wo ich nicht weiterkomme.
Beweisen Sie folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{2n}{(2n+1)!} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

Wie könnte man hier vorgehen ?
Einfache Tricks wie zum Beispiel dem Zähler was hinzufügen oder etwas mit der Fakultät zu machen funtionieren nicht.

05.02.2012, 00:51

tmo

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RE: Reihenwert beweisen !

Zitat:

Original von MatheUSer
Einfache Tricks wie zum Beispiel dem Zähler was hinzufügen

Doch, genau das hilft.

$\begin{eqnarray*} \frac{2n}{(2n+1)!} = \frac{2n+1}{(2n+1)!} - \frac{1}{(2n+1)!}= \frac{1}{(2n)!}-\frac{1}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$ , also ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{(2n)!}-\frac{1}{(2n+1)!} \right) \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

Wenn man nunmal in die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion $\begin{eqnarray*} x = -1 \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann erkennt man es. Formal wird die ganze Sache dadurch gesichert, dass absolute Konvergenz vorliegt, also dürfen wir umordnen.

05.02.2012, 01:11

ascer

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Vorweg: ich bin nicht MatheUSer^^

@topic: also deine Umformung kann ich schon nachvollziehen, aber ich seh da noch nichts mit dem Tipp x=-1?

Vielleicht steh ich auch grad sehr aufm Schlauch^^
Könntest du den Tipp nochmal etwas genauer erläutern?

05.02.2012, 10:40

tmo

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Wie lautet denn die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion?

05.02.2012, 12:10

ascer

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{k}}{k!} \end{eqnarray*}$ für die Reihenentwicklung einer Exponentialfunktion

und

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = e \end{eqnarray*}$ für die eulersche Zahl.

Aber ich seh grad irgendwie nicht, dass eins von beidem hinkommt^^
Selbst der Startindex ist ja ein anderer..

05.02.2012, 12:13

tmo

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Es geht hier doch um 1/e und nicht um e. Also musst du x = -1 einsetzen und nicht 1.

05.02.2012, 14:22

MatheUSer

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Hi Leute und Danke für eure Hilfe,

@ tmo
Also bis dahin hatte ich das auch hingekriegt, nun leider kamm ich da nicht weiter.
Die Formeln die ascer aufgeschrieben hat, kenn ich auch, aber trotzdem verstehe ich nicht wie man die da einsetzen könnte.

Also es gilt ja, wie bereits gesagt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n} }{n!} = e^{x} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1 }{n!} = e \end{eqnarray*}$

und ich habe folgende Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)!} - \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!} ) \end{eqnarray*}$

Auch wenn, wie du gesagt hast, ich x=-1 einsetzte, dann habe ich von der e^x -Formel folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \end{eqnarray*}$ dass ja auch gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ ist, aber bei meine Reihe habe ich auch ein 2n im Nenner und dazu habe ich noch zwei Brüche und nicht eins.

Wäre nett, wenn du das ein wenig besser erklären könntest !

@ascer
Bei allem stimme ich dir zu, nur für den Startindex sehe ich kein Problem, da man ja einfach +1-1 addieren kann, und so wird der Startindex gleich 0.

05.02.2012, 14:37

tmo

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Zitat:

Original von MatheUSer
und ich habe folgende Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)!} - \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

So weit, so gut.

Zitat:

Original von MatheUSer
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \end{eqnarray*}$ dass ja auch gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

Du hast hier einen Fehler gemacht. Der Startindex ist bei 0. Da die ersten beiden Glieder jeweils 1 und -1 sind, können wir genauso gut bei n = 2 anfangen, also haben wir:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

Und jetzt sieh mal ganz scharf hin und erkenne, dass diese Reihe und die Reihe, um die es geht (also die, die ich oben nochmal zitiert habe), gleich sind.

05.02.2012, 17:14

MatheUSer

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Zitat:

Original von tmo

Du hast hier einen Fehler gemacht. Der Startindex ist bei 0.

Ja stimmt, meinte das Startindex 0 sein sollte, habs nur falsch geschrieben.

Zitat:

Original von tmo
Da die ersten beiden Glieder jeweils 1 und -1 sind, können wir genauso gut bei n = 2 anfangen, also haben wir:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

Und jetzt sieh mal ganz scharf hin und erkenne, dass diese Reihe und die Reihe, um die es geht (also die, die ich oben nochmal zitiert habe), gleich sind.

Also, dass

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

sein soll verstehe ich vollkommen, aber egal wie gut ich hinsehe verstehe ich nicht wieso diese Reihe gleich der gemeinten Reihe sein soll.
Man müsste doch die gemeinte Reihe ja so Umformen, dass sie am End der obengennanten Reihe aussieht oder nicht ?

Aber der einzige Scritt, der mir dazu einfällt, ist folgender:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)!} ( 1-\frac{1}{(2n+1)} ) \end{eqnarray*}$

der ja nix bringt. Aber es muss doch etwas geben, mit dem man das ja umformen kann. Ich verstehe schon, dass du z.B. oder einer der so etwas gut kann, es gleich sieht, aber ich kann da wirklich die Gleichheit nicht sehen.
Vorallem irritiert mich das (2n)! und (2n+1)! im Nenner.

05.02.2012, 21:40

tmo

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Schreib dir mal von der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)!}-\frac{1}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$ die ersten 5 Glieder hin.

Schreib dir dann mal von der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \end{eqnarray*}$ die ersten 10 Glieder hin (also bis n=11).

Dann geht dir bestimmt ein Licht auf.

06.02.2012, 13:33

MatheUSer

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OK jetzt verstehe ich das, wieso die gleich sind.

Allerdings muss ich dich nochmal fragen, kann ich das so schreiben ?
Ich meine die Aufgabenstellung war ja "Beweisen Sie...". Ist das somit bewiesen ?

Und meine zweite und wichtigste Frage, was wäre wenn die Aufgabenstellung "Berechnen Sie den Reihenwert der Reihe" wäre, wie kommt man auf die Idee die richtige Formel zu benutzen
(also die mit 1/e). Ok, dass man später -1 einsetzt wenn man die richtige Formel erkannt hat, verstehe ich schon, weil ja man bei der AufgabenReihe ein Term hat, der mit dem nächsten Term subtrahiert wird.

Aber ok die Idee auf solche sachen erst überhaupt zu kommen, finde ich ein wenig kompliziert !

Ahh und danke nochmals für deine ausfürliche Hilfe !

06.02.2012, 16:17

tmo

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Bewiesen ist hier noch gar nichts.

Aber es ist doch jetzt nicht mehr schwer.

Wir "vermuten" $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N \frac{1}{(2n)!}-\frac{1}{(2n+1)!} = \sum_{n=2}^{2N+1} \frac{(-1)^n}{n!} \end{eqnarray*}$

und zeigen es per vollständiger Induktion (Das ist nur Formsache, keine Schwierigkeit).

Im Grenzübergang $\begin{eqnarray*} N \to \infty \end{eqnarray*}$ folgt dann die Behauptung.

Generell ist "Berechnen sie den Reihenwert der Reihe" selten eine leichte Aufgabe.
Mit der Zeit hat man halt etwas Erfahrung und kennt einige "Tricks", die man anzuwenden versuchen kann.

06.02.2012, 17:20

MatheUSer

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Danke dir herzlich !

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