e funktion beliebig oft diffbar

16.01.2007, 20:03

Buef

e funktion beliebig oft diffbar

Wir definieren $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} e^{-1\over x^2}, & \text{für }x \neq 0 \\ 0, & \text{für }x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann ist f auf ganz R beliebig oft differenzierbar, und es gilt $\begin{eqnarray*} f^{(n)}{(0)} = 0 \end{eqnarray*}$ für alle n in N

Ich habe mir folgendes Gedacht

Wenn:

$\begin{eqnarray*} e^{-1 \over x^2} = 0 \end{eqnarray*}$

und die Ableitung

$\begin{eqnarray*} e^{-1 \over x^2} = e^{-x^{(-2)}} \Rightarrow 2e^{-x^{(-2)}} \Rightarrow 2*0=0 \end{eqnarray*}$

Da

$\begin{eqnarray*} e^{-1 \over x^2} = 0 \end{eqnarray*}$

nach Definition ist, ist jede Ableitung immer 0. Und das

$\begin{eqnarray*} e^{-1 \over x^2} \end{eqnarray*}$

verändert sich ja nach Vorlesung nie! Aber die Lösung scheint mir zu einfach! Hat jemand einen besseren Vorschlag oder was anzumerken! Wäre dankbar!

16.01.2007, 20:24

therisen

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RE: e funktion beliebig oft diffbar

Zitat:

Original von Buef
Wenn:

$\begin{eqnarray*} e^{-1 \over x^2} = 0 \end{eqnarray*}$

und die Ableitung

$\begin{eqnarray*} e^{-1 \over x^2} = e^{-x^{(-2)}} \Rightarrow 2e^{-x^{(-2)}} \Rightarrow 2*0=0 \end{eqnarray*}$

Nein! Kettenregel.

Gruß, therisen

16.01.2007, 20:53

Calvin

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Auch für dich die Links aus aktuellen Threads, die möglicherweise zusätzliche Ansätze für dich bringen.

Die Funktion e^(-1/x²)

Beweis beliebig oft diffbar

17.01.2007, 00:15

Buef

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Zitat:

Original von Calvin
Auch für dich die Links aus aktuellen Threads, die möglicherweise zusätzliche Ansätze für dich bringen.

Die Funktion e^(-1/x²)

Beweis beliebig oft diffbar

ich schätze damit bekomm ichs hin!
hmm warum hat meine suche nichts gebracht? verwirrt

17.01.2007, 18:02

Buef

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Zitat:

Original von Buef

Zitat:

Original von Calvin
Auch für dich die Links aus aktuellen Threads, die möglicherweise zusätzliche Ansätze für dich bringen.

Die Funktion e^(-1/x²)

Beweis beliebig oft diffbar

ich schätze damit bekomm ichs hin!
hmm warum hat meine suche nichts gebracht? verwirrt

das hat mir doch nicht weit gebracht

in der wikipedia ist die kettenfunktion so definiert

http://upload.wikimedia.org/math/1/0/9/109c7fa61fd49f15a60ed91408ba062e.png
für

http://upload.wikimedia.org/math/d/e/0/de008082a29da29e2d26ced877a85052.png

aber da ja wie schon gesagt die e funktion sich nie ändert, und man diese als kettenfunktion hinschreibt, entsteht da ein produkt und da $\begin{eqnarray*} e^{-1 \over x^2} = 0 \end{eqnarray*}$ auch nach der abbleitung ist, ist das immer 0? oder iist meine rechnung falsch. oder kann mir jemand das mal so hinschreiben, wie es richtig ist. ich blicke echt nicht durch!

17.01.2007, 18:08

therisen

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Du musst einfach noch mit $\begin{eqnarray*} (-x^{-2})' \end{eqnarray*}$ multiplizieren.