Gegenbeispiel zu R-linear

05.02.2012, 13:24

Penelope91

Gegenbeispiel zu R-linear

Meine Frage:
Hallo ich beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe:

Ist V=R³, W= R² phi(x1,x2,x3)=(x1²,0) R-linear?

Meine Ideen:
da ich versucht habe die definition anzuwenden aber beim einsetzten der vorschrift nicht weiter kam, gehe ich davon aus dass dies nicht R-linear ist. Stimmt das? Bzw kann mir jmd ein Gegenbeispiel zeigen smile

05.02.2012, 18:16

blubbel

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RE: Gegenbeispiel zu R-linear

Zitat:

Original von Penelope91
da ich versucht habe die definition anzuwenden aber beim einsetzten der vorschrift nicht weiter kam

Wo ging es denn nicht weiter? Am besten kurz aufschreiben, was du schon hast. Wie du schon sagst, muss man - je nachdem ob die Funktion tatsächlich IR-Linear ist - die beiden Bedingungen nachprüfen, oder ein Gegenbeispiel finden.

05.02.2012, 19:27

Penelope91

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Sei (x1,x2,x3), (y1,y2,y3) € V µ $\begin{eqnarray*} \lambda \in \end{eqnarray*}$ IR

phi( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (x1,x2,x3) + µ(y1+y2+y3))

= ( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ x1, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ x2, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ x3) + (µy1, µy2, µy3)

= jetzt müsste ich meine vorschrift anwenden aber das klappt irgendwie nicht oder?

06.02.2012, 11:04

blubbel

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Genau, du musst schauen ob bei zwei beliebigen Vektoren die Linearität immer erfüllt ist. Wenn man die 2 Bedingungen getrennt anschaut (es geht auch in einem Schritt, aber so ist das vielleicht einfacher):
$\begin{eqnarray*} \text{Sei } x=(x_1,x_2,x_3),y=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3, \lambda\in \mathbb{R}. \end{eqnarray*}$
1. $\begin{eqnarray*} \phi (x+y)=\phi (x)+\phi (y) \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \lambda \phi (x)=\phi (\lambda x) \end{eqnarray*}$

Nun musst du also schauen, ob das gilt. Schauen wir uns 1 an:
$\begin{eqnarray*} \phi (x+y)=\phi ((x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3))=\phi ((x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3))=\ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi (x)+\phi (y)=\phi ((x_1,x_2,x_3))+\phi ((y_1,y_2,y_3))=\ldots \end{eqnarray*}$

Und dann schauen ob das gleiche dabei heraus kommt. Falls nicht, fällt normalerweise gleich ins Auge, wo das Problem liegt und man kann sich schnell ein Gegenbeispiel zaubern. Am besten immer einfache Vektoren nehmen (sofern das da schon klappt).

edit: Achja, du musst darauf achten, dass dein phi vom IR³ in das IR² abbildet!

06.02.2012, 21:23

Penelope91

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Vielen Dank. smile

Du hast recht, wenn ich das getrennt mache ist es etwas einfacher und übersichtlicher smile

07.02.2012, 10:05

blubbel

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Das würd ich so nicht unterschreiben ^^

Ich bin mir nicht ganz sicher, aber falls man das Gefühl hat, dass die Funktion Linear ist, kann man einfach die Kombination machen, man spart sich viel Aufschreiben.
Falls man eher das Gefühl hat, dass es nicht klappt, man aber nicht genau weiß wo, könnte der getrennte Ansatz vielleicht das Problem deutlicher hervorheben smile

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