n-tes Fourierpolynom

05.02.2012, 16:21

stealth_mx

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n-tes Fourierpolynom

Hallo zusammen, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{\begin{array}{cc} 1+x^2, & 0\leq x \leq 2 \pi\\ 1-(x-4 \pi)^2, & 2\pi \leq x \leq 4 \pi \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Ich soll das n-te F'polynom bestimmen.
Wie muss ich hier genau vorgehen, dass ist mir in der Vorlesung nicht ganz klar geworden. Muss ich hier zwei Polynome entwickeln oder kann ich es durch eins ausdrücken? Bis jetzt hatten wir keine abschnittsweise definierten Funktionen. Deswegen bin ich da unsicher.

06.02.2012, 08:51

Steffen Bühler

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RE: n-tes Fourierpolynom

Zitat:

Original von stealth_mx
Muss ich hier zwei Polynome entwickeln oder kann ich es durch eins ausdrücken?

Ich wüßte nicht, wie man's durch eins ausdrücken könnte. Das Fourierintegral geht ja von $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ . Da die Funktion links und rechts der Definition Null zu sein scheint (was ich jedenfalls annehme, schau bitte noch einmal nach), ergibt sich das Integral aus der Summe der zwei Einzelintegrale.

Viele Grüße
Steffen

06.02.2012, 19:29

stealth_mx

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Ich meine ich kann a_0 ja über das gesamte Intervall bestimmen. Ich unterteile bei 2 Pi und so habe ich ich a_0 raus. Aber bei b_k und a_k bin ich bin ich mir nicht sicher wie ich vorgehen muss.

07.02.2012, 09:00

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von stealth_mx
Aber bei b_k und a_k bin ich bin ich mir nicht sicher wie ich vorgehen muss.

Na, wie immer, eingedenk

$\begin{eqnarray*} \int_0^{4 \pi} \! f(x) \, dx = \int_0^{2 \pi} \! f(x) \, dx + \int_{2 \pi}^{4 \pi} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Also pack die beiden Funktionen in die Formeln und integriere drauflos.

Viele Grüße
Steffen

08.02.2012, 19:32

Isabella41

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hallo zusammen...
ich muss so eine ähnlich aufgabe lösen und würde gerne wissen wie die einzelnen schritte ausgerechnet aussehen würden, könnte mir das jemand vllt hier posten?

weil ich muss das irgendwie auf meine aufgabe übertragen und versteh das nirgends Big Laugh

Big Laugh

das wäre sehr sehr nett !!!

danke im vorraus

09.02.2012, 08:30

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Isabella41
ich muss das irgendwie auf meine aufgabe übertragen und versteh das nirgends

Das kriegen wir schon hin. Wie sieht Deine Aufgabe denn aus?

Viele Grüße
Steffen

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09.02.2012, 14:11

Isabella41

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was ich gerade bemerke, der hat genau die gleiche aufgabe wie ich sie habe. obwohl ich nur fourierpolynom eingegeben habe ^^

dann passt das ja perfekt und man kann damit sogar wirklich weiterarbeiten Augenzwinkern

Augenzwinkern

also ich weiß, das die beiden funktionen nah aneinander vorbeilaufen und man sie zu einer zusammen fügen könnte

ich glaube das versuchen wir in dieser aufgabe aber wie geht das alles ^^

ich versteh da garnichts grad :/

09.02.2012, 14:39

Isabella41

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warum kann ich sowas nicht einfach mal verstehen und grüße zurück hatte ich vergessen hihi

09.02.2012, 14:43

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Isabella41
wie geht das alles

Wie immer: das Fourierintegral ist

$\begin{eqnarray*} S(\omega) = \int_{-\infty}^{-\infty} \! f(x) \cdot e^{-i \cdot \omega \cdot x }\, dx \end{eqnarray*}$

Da f(x) anscheinend außerhalb $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 4 \pi \end{eqnarray*}$ Null ist, reduziert sich das Ganze auf diese zwei Integrale:

$\begin{eqnarray*} S(\omega) = \int_{0}^{2 \pi} \! (1+x^2) \cdot e^{-i \cdot \omega \cdot x }\, dx + \int_{2 \pi}^{4 \pi} \! (1 - (x - 4 \pi)^2) \cdot e^{-i \cdot \omega \cdot x }\, dx \end{eqnarray*}$

Kriegst Du das hin?

So bekommt man allerdings keine diskreten Fourierkoeffizienten, sondern ein kontinuierliches Spektrum. Ich fürchte aber, die Zeitfunktion soll periodisch so weitergehen. Das gäbe eine kleine Änderung in der Formel. Bevor wir uns also in (zwar nicht ganz unnötige) Rechnereien verlieren, schreib bitte mal die ganze Aufgabe hin.

Viele Grüße
Steffen

09.02.2012, 14:57

Isabella41

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also ich soll ne skizze machen (das wären ja die beiden graphen die knapp aneinander vorbeilaufen) und mein n-tes fourierpolynom aufstellen, mehr nicht

^^
dann mal die fragen:

wofür steht das omega und wofür brauch ich das fourierpolynom?
ist es um die funktionen stetig miteinander zu ergänzen?

09.02.2012, 15:19

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Isabella41
n-tes fourierpolynom aufstellen, mehr nicht

Gut. Dann muß die Funktion periodisch fortgesetzt werden. Somit lautet die Formel

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=- \infty}^{+ \infty} c_k \cdot e^{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac 1 T \int_0^T \! f(x) \cdot e^{-{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T}} \, dx \end{eqnarray*}$

Das solltet Ihr schon gehabt haben, oder? $\begin{eqnarray*} T = 4 \pi \end{eqnarray*}$ , den Rest hab ich oben erklärt.

Zitat:

Original von Isabella41
wofür steht das omega und wofür brauch ich das fourierpolynom?

Omega ist eine Frequenz. Der Herr Fourier kann nämlich jeden Zeitverlauf in seine sinusförmigen Frequenzkomponenten zerlegen. Zumindest ist das einer der häufigsten Anwendungen. Zum Beispiel kann man eine Rechteck als Summe von unendlich vielen Sinusschwingungen schreiben. Und statt einem Rechteck nehmen wir jetzt halt dieses komische Signal da oben.

Viele Grüße
Steffen

09.02.2012, 15:25

Isabella41

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RE: n-tes Fourierpolynom
Aufgabe:
Skizzieren Sie den Graphen folgender 4pi-periodischen Funktion und bestimmen Sie ihr
n-tes Fourierpolynom:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{\begin{array}{cc} 1+x^2, & 0\leq x \leq 2 \pi\\ 1-(x-4 \pi)^2, & 2\pi \leq x \leq 4 \pi \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

also muss ich beim fourier polynom mit bestimmten grenzen in die intervalle aufsplitten und dort in die formel einsetzen...

nur ist es dann der aufgabe entsprechend ?

09.02.2012, 15:30

Steffen Bühler

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RE: n-tes Fourierpolynom

Zitat:

Original von Isabella41
folgender 4pi-periodischen Funktion

Na endlich! Siehst Du, das meinte ich.

Zitat:

Original von Isabella41
also muss ich beim fourier polynom mit bestimmten grenzen in die intervalle aufsplitten und dort in die formel einsetzen...

nur ist es dann der aufgabe entsprechend ?

Ja, natürlich.

Viele Grüße
Steffen

09.02.2012, 15:44

Isabella41

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$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=- \infty}^{+ \infty} c_k = \frac 1 {4 \pi} \int_0^{2 \pi} \! 1+x^2 \cdot e^{-{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T}} \, dx \cdot e^{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T} + \int_{2 \pi}^{4 \pi} \! 1-(x-4 \pi)^2 \cdot e^{-{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T}} \, dx \cdot e^{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T} \end{eqnarray*}$

wäre das dann das ergebnis? oder muss vor das zweite intervall auch das 1/4pi ?

Viele Grüße
Isi

09.02.2012, 15:45

Isabella41

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ok ich komm mit der schreibweise im dingens nicht klar einen leinen augenblick noch ^^

09.02.2012, 15:55

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Isabella41
muss vor das zweite intervall auch das 1/4pi ?

Ja, denn dieser Faktor betrifft ja das Ursprungsintegral, das jetzt nur in zwei Unter-Integrale aufgeteilt wurde.

Viele Grüße
Steffen

09.02.2012, 15:58

Isabella41

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so jetzt hab ichs richtig eingetragen, so wie ich es meine Big Laugh

Big Laugh

wäre also das mein Ergebnis der aufgabe ?

09.02.2012, 15:59

Isabella41

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Zitat:

Original von Isabella41
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=- \infty}^{+ \infty} \frac 1 {4 \pi} \int_0^{2 \pi} \! 1+x^2 \cdot e^{-{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T}} \, dx \cdot e^{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T} + \frac 1 {4 \pi} \int_{2 \pi}^{4 \pi} \! 1-(x-4 \pi)^2 \cdot e^{-{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T}} \, dx \cdot e^{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T} \end{eqnarray*}$

wäre das dann das ergebnis??

Viele Grüße Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

und viiieeeeelen dank !!!!
Isi

09.02.2012, 16:07

Isabella41

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achso die richtigkeit wurde also mit dem ja zum 1/4pi ebenfalls mit ja beantwortet Augenzwinkern

Augenzwinkern

danke danke danke

09.02.2012, 16:10

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Isabella41
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=- \infty}^{+ \infty} c_k = \frac 1 {4 \pi} \int_0^{2 \pi} \! 1+x^2 \cdot e^{-{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T}} \, dx \cdot e^{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T} + \frac 1 {4 \pi} \int_{2 \pi}^{4 \pi} \! 1-(x-4 \pi)^2 \cdot e^{-{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T}} \, dx \cdot e^{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T} \end{eqnarray*}$

wäre das dann das ergebnis?

Nicht ganz sauber (ein paar Klammern fehlten und ck stand da noch rum), aber Du hast es verstanden. Ich schreib's noch einmal hin:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x) = \sum\limits_{k=- \infty}^{+ \infty} (\frac 1 {4 \pi} \int_0^{2 \pi} \! (1+x^2) \cdot e^{-{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T}} \, dx \cdot e^{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T} + \frac 1 {4 \pi} \int_{2 \pi}^{4 \pi} \! (1-(x-4 \pi)^2) \cdot e^{-{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T}} \, dx \cdot e^{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T})<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte man für die Kosmetik noch ein wenig aukklammern. Ach so, und das n-te Polynom ist hier natürlich das k-te.

Viele Grüße
Steffen

09.02.2012, 16:17

Isabella41

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$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=- \infty}^{+ \infty} (\frac 1 {4 \pi} \cdot e^{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T}( \int_0^{2 \pi} \! (1+x^2) \cdot e^{-{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T}} \, dx + \int_{2 \pi}^{4 \pi} \! (1-(x-4 \pi)^2) \cdot e^{-{\frac {2 \pi k \cdot i \cdot x} T}} \, dx))<br /> \end{eqnarray*}$
partiell integrieren und dann ausklammern brauch ich ja nicht

danke aber hoffe ich muss damit nicht so bald richtig arbeiten Augenzwinkern

Augenzwinkern

doch werds noch bisschen üben

09.02.2012, 16:20

Steffen Bühler

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Perfekt. Zur Bestimmung des n-ten Polynoms mußt Du jetzt eigentlich noch die Integrale knacken, aber das kannst Du ja, nehme ich an.

Viele Grüße
Steffen

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