Graphischer Beweis der Ableitung der Sinusfunktion

05.02.2012, 17:14

jacyju

Graphischer Beweis der Ableitung der Sinusfunktion

Meine Frage:
Hallo zusammen,

mit dem Bild soll man die Ableitung der Sinusfunktion $\begin{eqnarray*} f'(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ beweisen. Dazu soll man ...
1. Die Ähnlichkeit der Dreiecke $\begin{eqnarray*} OFM \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} APQ \end{eqnarray*}$ beweisen.
2. Zeigen, dass der Differenzenquotient $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x + h)-\sin(x)}{h} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \cos(x+\frac{h}{2}) \end{eqnarray*}$ ist.
3. Die Ableitung erstellen.

Meine Ideen:
Zu 1.: Bewiesen habe ich die Ähnlichkeit bereits (über die Winkel).
Zu 3.: Die Ableitung aus $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \cos(x+\frac{h}{2}) \end{eqnarray*}$ zu folgern, ist auch nicht schwer.

Zu 2.:
Da die Dreiecke ähnlich sind, gilt ja $\begin{eqnarray*} \frac{OF}{QA} =\frac{FM}{AP} \end{eqnarray*}$ . Daher habe ich gefolgert:
$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(x+\frac{h}{2})}{sin(x+h)-sin(x)} = \frac{sin(x+\frac{h}{2})}{cos(x)-cos(x+h)} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich das ganze so umgeformt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x + h)-\sin(x)}{h} \end{eqnarray*}$ rauskommt:
$\begin{eqnarray*} \frac{sin(x+h)-sin(x)}{h} = \frac{\cos(x+\frac{h}{2})*cos(x)-cos(x+\frac{h}{2})*cos(x+h)}{sin(x+\frac{h}{2})*h} \end{eqnarray*}$

Nur wenn ich jetzt das $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray*}$ mache, dividiere ich ja wieder durch 0.

Ist der Ansatz falsch? Oder gibt es irgendwelche Umformungsregeln, die ich beachten muss?

Danke im Vorraus.

06.02.2012, 02:44

frank09

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RE: Graphischer Beweis der Ableitung der Sinusfunktion
In welcher Beziehung stehen denn $\begin{eqnarray*} x_0+\frac{h}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ?
Drücke sin und cos durch Seitenverhältnisse im Dreieck APQ aus und benutze, dass für kleine h annähernd gilt: $\begin{eqnarray*} h=\overline{PQ} \end{eqnarray*}$

07.02.2012, 16:43

jacyju

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RE: Graphischer Beweis der Ableitung der Sinusfunktion

Zitat:

Original von frank09
In welcher Beziehung stehen denn $\begin{eqnarray*} x_0+\frac{h}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ?
Drücke sin und cos durch Seitenverhältnisse im Dreieck APQ aus und benutze, dass für kleine h annähernd gilt: $\begin{eqnarray*} h=\overline{PQ} \end{eqnarray*}$

Danke erstmal für die Hilfe Freude

Also als Beziehung zwischen $\begin{eqnarray*} x_0+\frac{h}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ habe ich $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)=\frac{\cos(x+\frac{h}{2})}{Hypotenuse} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)=\frac{\sin(x+\frac{h}{2})}{Hypotenuse} \end{eqnarray*}$ , also zusammen $\begin{eqnarray*} \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=\frac{\sin(x+\frac{h}{2})}{\cos(x+\frac{h}{2})} \end{eqnarray*}$ .
Für die Seitenverhältnisse gilt: $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)=\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)=\frac{\cos(x)-\cos(x+h)}{h} \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich jetzt in die obere Formel $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ einsetze, erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{\cos(x)-cos(x+h)}{\sin(x+h)-\sin(x)}=\frac{\sin(x+\frac{h}{2})}{\cos(x+\frac{h}{2})} \end{eqnarray*}$ . Nur hilft mir das jetzt irgendwie nicht richtig weiter, da ja kein $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ mehr da ist, mit dem ich es nach $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x + h)-\sin(x)}{h} \end{eqnarray*}$ umformen kann...

Oder seh ich jetzt den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr?

08.02.2012, 01:48

frank09

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RE: Graphischer Beweis der Ableitung der Sinusfunktion
Wenn du dir das Dreieck OFM anschaust, ergibt sich
$\begin{eqnarray*} x_0+\frac{h}{2}=90°-\alpha \end{eqnarray*}$

Aus dieser Beziehung folgt
$\begin{eqnarray*} \cos(x_0+\frac{h}{2})=\sin(\alpha) \end{eqnarray*}$
Man erkennt das auch daran, dass die Grundseite des Dreiecks bezogen auf $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die Gegenkathete darstellt, also den Sinus, und bezogen auf $\begin{eqnarray*} x_0+\frac{h}{2} \end{eqnarray*}$ die Ankathete, somit den Cosinus, darstellt.

Im Dreieck APQ lässt sich $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) \end{eqnarray*}$ als Quotient von Gegenkathete und Hypotenuse darstellen, deren Längen ersichtlich sind. Nun kannst du diesen mit dem Cosinus gemäß o.a. Beziehung gleichsetzen. Benutze noch die Annäherung für kleine h.

09.02.2012, 20:41

jacyju

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RE: Graphischer Beweis der Ableitung der Sinusfunktion

Zitat:

Original von frank09
Wenn du dir das Dreieck OFM anschaust, ergibt sich
$\begin{eqnarray*} x_0+\frac{h}{2}=90°-\alpha \end{eqnarray*}$

Darauf bin ich auch schon gekommen, aber wie folgerst du daraus

Zitat:

Original von frank09
$\begin{eqnarray*} \cos(x_0+\frac{h}{2})=\sin(\alpha) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von frank09
Man erkennt das auch daran, dass die Grundseite des Dreiecks [...] bezogen auf $\begin{eqnarray*} x_0+\frac{h}{2} \end{eqnarray*}$ die Ankathete, somit den Cosinus, darstellt.

Wie kann eine Seitenlänge bezogen auf eine andere Seitenlänge die Ankathete sein?

Entschuldigung, dass ich so doof frag Gott

10.02.2012, 02:33

frank09

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RE: Graphischer Beweis der Ableitung der Sinusfunktion
$\begin{eqnarray*} x_0+\frac{h}{2}=90°-\alpha \end{eqnarray*}$
Wenn du darauf auch schon gekommen bist, sollte dir doch klar sein, dass hier zwei Winkel miteinander verglichen werden und nicht eine Strecke mit einem Winkel.
Bei dem Ausdruck links handelt es sich nur um das Bogenmaß, das einen Winkel durch die Länge des entsprechenden Bogens auf dem Einheitskreis ausdrückt, so gilt z.B $\begin{eqnarray*} 180°=\pi \end{eqnarray*}$ (Deg/Rad).
Vielleicht hilft es dir, dass auf der Grafik der Winkel $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ (Gradmaß) identisch ist mit $\begin{eqnarray*} x_0+\frac{h}{2} \end{eqnarray*}$ (Bogenmaß), also
$\begin{eqnarray*} cos(x_0+\frac{h}{2})=cos(\beta)=\frac{Ankathete=untere Dreiecksseite}{Hypothenuse=1} \end{eqnarray*}$
Ebenso gilt im gleichen Dreieck:
$\begin{eqnarray*} sin(\alpha)=\frac{Gegenkathete=untere Dreiecksseite}{Hypothenuse=1} \end{eqnarray*}$
Also
$\begin{eqnarray*} cos(x_0+\frac{h}{2})=sin(\alpha) \end{eqnarray*}$

11.02.2012, 21:49

jacyju

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Ah, Dankeschön, jetzt hab ich's kapiert smile

. Mir war die Gleichsetzung von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0+\frac{h}{2} \end{eqnarray*}$ nicht so ganz bewusst. Hast' mir echt weitergeholfen Freude

Ich frag mich nur, ob dieser Unterschied zwischen der Länge von $\begin{eqnarray*} \overline{PQ} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ echt keine Rolle spielt...

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