Beweis beliebig oft diffbar

16.01.2007, 20:19

SilverBullet

Beweis beliebig oft diffbar

Nabend nochmal,

hab hier ne Aufgabe bei der mir die richtige vorgehensweise fehlt. Zunächst mal zur Aufgabe :

2

Zitat:

Wir definieren $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ durch :

$\begin{eqnarray*} f(n)=\begin{cases} e^{\frac {-1} {x^2}}, & \text{für } x \neq 0 \\ 0, & \text{für }x =0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann ist f auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig oft differenzierbar, und es gilt $\begin{eqnarray*} f^{(n)} (0)= 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Anmerkung :
$\begin{eqnarray*} f^{(n)} (x) \end{eqnarray*}$ entspricht der n-ten Ableitung von f

Als Tip steht da eine bezug zu einem Lemma das lautet :

$\begin{eqnarray*} f,g : (a,b) \rightarrow \mathbb R \text{ stetig, } x_0 \in (a, b) \end{eqnarray*}$ .
Sei f für alle $\begin{eqnarray*} x \in (a, b) \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} \{x_0\} \end{eqnarray*}$ diffbar mit f'(x) = g(x). Dann ist f auch in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ diffbar und f'(x) = g(x).

Also was mir hier fehlt ist nen richtiger Ansatz.
Ich würde hier einfach per Induktion zeigen, dass auch die n-te Ableitung genauso wie alle anderen existiert und diese für x=0 halt 0 ergibt.
Kann ich das so machen oder muss ich da anders rangehen aufgrund des Tips ?

16.01.2007, 20:27

Schmonk

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Ich finde deine Idee gut, erstmal für alle x unlgeich Null per Induktion die Diffbarkeit zeigen und dann aufgrund des Lemmas zeigen, dass für die n-te Ableitung
$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0)=0 \end{eqnarray*}$
gilt.

Gruß

16.01.2007, 20:52

Calvin

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Vor kurzem und auch aktuell wurde diese Funktion besprochen. Witzig ist, dass da unterschiedliche Schwerpunkte gesetzt werden. Hier sollst du zeigen, dass die Funktion für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ unendlich oft diffbar ist. Der Rest gibt sich dann durch ein Lemma.

Im Thread vor ein paar Tagen war es genau andersrum *lol*

Zitat:

Zeigen Sie, dass die Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ unendlich oft differenzierbar ist. Es reicht dazu den Punkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ zu betrachten, da dies in $\begin{eqnarray*} x\not=0 \end{eqnarray*}$ relativ klar ist. Verwenden Sie zum Beweis vollständige Induktion.

Wenn man bequem ist, könnte man sagen "Das eine ist klar, das andere folgt daraus" Big Laugh

BTW hier wird aktuell auch dieses Problem besprochen. Vielleicht ergeben sich da auch ein paar Tipps.

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