Unterraum Beweis, Stützvektor und limitierter Richtungsvektor

05.02.2012, 18:06

tgps

Unterraum Beweis, Stützvektor und limitierter Richtungsvektor

Hi,
folgende Aufgabe:

Ist
$\begin{eqnarray*} U& = \{ \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , t \leq -1 \} \end{eqnarray*}$
Unterraum des $\begin{eqnarray*} \ R^2 \end{eqnarray*}$ ?

Man sieht leicht, für $\begin{eqnarray*} t=-1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \vec x = 0 \end{eqnarray*}$ , der Nullvektor ist also in U. Weiter mit den anderen Kriterien.

Kriterium U1:
$\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b} \in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha , \beta \leq -1 \end{eqnarray*}$

Also rechne ich:
$\begin{eqnarray*} \vec a + \vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} + (\alpha + \beta) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wobei gilt: $\begin{eqnarray*} (\alpha + \beta) \leq -2 \end{eqnarray*}$

Und hier häng ich jetzt fest. Ich glaube U1 ist erfüllt. Zwar ändert sich der Stützvektor, aber der Wertebereich des Koeffizienten des Richtungsvektor hat sich proportional mitgeändert. Was muss ich jetzt machen, um mathematisch korrekt aufzuschreiben, dass $\begin{eqnarray*} (\vec a + \vec b) \in U \end{eqnarray*}$ ?

05.02.2012, 18:36

Alive-and-well

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vllt bin ich auf dem Holzweg, aber ich meien es ist kein Unterraum weil er nicht abgeschlossengegenüber der skalaren multiplikation ist. (könnte aber auch sein das ich mich irre).

Bei der addition bist du fertig würde ich sagen, der vektor der reultiert passt ja zu den Verktoren die der "Unterraum" führen soll.

05.02.2012, 19:00

Kimi_R

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RE: Unterraum Beweis, Stützvektor und limitierter Richtungsvektor

Zitat:

Original von tgps
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} + (\alpha + \beta) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wobei gilt: $\begin{eqnarray*} (\alpha + \beta) \leq -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + (1+\alpha + \beta) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wobei gilt: $\begin{eqnarray*} (1+\alpha + \beta) \leq -1 \end{eqnarray*}$

05.02.2012, 19:24

tgps

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RE: Unterraum Beweis, Stützvektor und limitierter Richtungsvektor
DANKE! Genau der Schritt fehlte mir um die Form von U wieder zu erreichen.

Und ja Alive-and-well, du hast völlig recht. Kriterium 2 geht eh nicht auf, aber dieser letzte Schritt der mir fehlte in U1 hat mich gewurmt.

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