Exponentialfamilie

05.02.2012, 18:14	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfamilie Meine Frage: Ich habe mal eine Frage zum Thema Exponentialfamilie. Darunter haben wir immer verstanden, daß man die Dichte schreiben kann in der Form $\begin{eqnarray} f(x)=\exp\left\{a(\theta)b(x)+c(\theta)+d(x)\right\} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ der Parameter sein soll. Nun ist es ja so, daß man zum Beispiel bei der Normalverteilung zwei Parameter hat und man kann dafür natürlich eine Exponentialfamiliendarstellung finden und dann den kanonischen Parameter $\begin{eqnarray} \Psi=a(\theta) \end{eqnarray}$ aufstellen, wobei in diesem Fall $\begin{eqnarray} \theta=(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ . Dann kann man eine Darstellung dieser Form erreichen: $\begin{eqnarray} \Psi b(x)-h(\Psi)+d(x) \end{eqnarray}$ . Wenn man dann $\begin{eqnarray} h'(\Psi) \end{eqnarray}$ berechnet, bekommt man den Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und wenn man $\begin{eqnarray} h''(\Psi) \end{eqnarray}$ berechnet die Varianz $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ . [Oder?] Wie ist das aber, wenn man zum Beispiel sagt: Sei $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ bekannt. Dann bekommt man ja nur noch eine eindimensionale Exponentialfamiliendarstellung mit einer Darstellung $\begin{eqnarray} \tilde\Psi \tilde b(x)-\tilde h(\tilde \Psi)+\tilde d(x) \end{eqnarray}$ Wenn man dann $\begin{eqnarray} \tilde h'(\tilde\Psi) \end{eqnarray}$ berechnet: Bekommt man dann immer noch den Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ der Zufallsvariable bzw. bei der zweiten Ableitung die Varianz $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Ich glaube, daß man andere Werte bekommt.
05.02.2012, 18:36	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht mal ein Beispiel zu dem, was ich meine. Für die Dichte der Pareto-Verteilung haben wir $\begin{eqnarray} f(x)=\theta\alpha^{\theta}x^{-(\theta +1)}\cdot \chi_{(\alpha,\infty)}, \theta > 0, \alpha >0 \end{eqnarray}$ . Für den Parameter $\begin{eqnarray} \iota =(\alpha,\theta) \end{eqnarray}$ gibt es m.E. gar keine Exponentialfamiliendarstellung, da der Träger von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ abhängig ist. Wenn ich jetzt aber annehme, daß $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ bekannt ist, so erhalte ich $\begin{eqnarray} \log f(x)=\log(\theta)+\theta \log(\alpha)-(\theta +1)\log(x) \end{eqnarray}$ wobei dann hier $\begin{eqnarray} a(\theta)=-(\theta +1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b(x)=\log(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c(\theta)=\log(\theta)+\theta\log(\alpha) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d(x)=0 \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} \Psi=a(\theta)=-(\theta +1)\Leftrightarrow \theta=a^{-1}(\Psi) \end{eqnarray}$ . Ich komme dann auf $\begin{eqnarray} \theta=-(\Psi +1) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} h(\theta)=-\log(-(\Psi +1))+(\Psi +1)\log(\alpha) \end{eqnarray}$ Aber wenn ich das ableite, kommt nicht der Erwartungswert heraus, der hier auch auf dem Zettel steht, nämlich $\begin{eqnarray} \theta\alpha/(\theta -1) \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} \log(\alpha)+\frac{1}{\theta} \end{eqnarray}$ . Stimmt das oder müsste der Erwartungswert herauskommen?

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