komplexe Zahlen Gleichung lösen

05.02.2012, 20:23

Dani_ela

komplexe Zahlen Gleichung lösen

Meine Frage:
die Aufgabe lautet:
Man finde alle Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^{5} = \frac{1}{1+i} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^{n} = z \end{eqnarray*}$ gibt es n Lösungen für

$\begin{eqnarray*} x_{k} = \sqrt[n]{\sqrt{a^{2} + b^{2} } } \cdot e^{i\beta k} \end{eqnarray*}$

k=0,1,...,(n-1)

$\begin{eqnarray*} \beta _{k} = \frac{\alpha }{n} + \frac{2\pi k}{n} \end{eqnarray*}$

und z in der Form: $\begin{eqnarray*} z = \sqrt{a^{2} + b^{a} } \cdot e^{i\alpha } \end{eqnarray*}$

Das ist die Definition, die in meinem Skript steht.

Das hilft mir allerdings wenig...
zunächst müsste ich ja z in die angegebene Form bringen; schon damit hab ich aber meine Probleme.
Kann mir hierfür jemand einen Tip geben?

05.02.2012, 20:33

original

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RE: komplexe Zahlen Gleichung lösen

Zitat:

Original von Dani_ela

Man finde alle Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^{5} = \frac{1}{1+i} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$

Kann mir hierfür jemand einen Tip geben?

löse es ausgehend von dieser Form:

$\begin{eqnarray*} z^5= \frac{\sqrt{2} }{2}\cdot e^{\frac{7\pi }{4} + 2k\pi } \end{eqnarray*}$

.

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