Warum darf man L'Hospital hier nicht anwenden?

05.02.2012, 20:32

1Q84

Warum darf man L'Hospital hier nicht anwenden?

Meine Frage:
Ich bin gerade über eine Aufgabe gestolpert, bei der folgender Grenzwert ausgerechnet werden soll:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{sin(x)+2x}{cos(x)+2x} \end{eqnarray*}$
Da Zähler und Nenner beide für sich gegen unendlich gehen, hätte ich hier L'Hospital angewendet. Das ergäbe:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{cos(x)+2}{-sin(x)+2} \end{eqnarray*}$
In meinem Buch steht dazu aber, dass dieser Grenzwert nicht existiert. Ich verstehe leider nicht, wieso der Grenzwert nicht existiert und würde mich über Ratschläge freuen...

Meine Ideen:
Leider keine...

05.02.2012, 20:42

Trak92

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Also ich denke dass liegt daran, dass weder sinus noch cosinus x für x nach unendlich definiert sind

05.02.2012, 20:44

mathinitus

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RE: Warum darf man L'Hospital hier nicht anwenden?

Zitat:

Original von 1Q84
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{cos(x)+2}{-sin(x)+2} \end{eqnarray*}$
In meinem Buch steht dazu aber, dass dieser Grenzwert nicht existiert. Ich verstehe leider nicht, wieso der Grenzwert nicht existiert und würde mich über Ratschläge freuen...

Was wäre deiner Meinung nach denn der Grenzwert?

05.02.2012, 22:59

Q-fLaDeN

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Bei dieser Funktion musst du ein bisschen aufpassen.

Die Funktion hat sehr wohl einen Grenzwert, der Quotient der nach dem Anwenden der Regel von L'Hospital da steht, jedoch nicht mehr. Somit kann man
mit L'H keine Aussage über die Konvergenz/Divergenz der Originalfunktion treffen. Die Regel gilt eben nur, falls $\begin{eqnarray*} \lim\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ überhaupt existiert.

Um den Grenzwert zu berechnen würde ich hier eher alles durch x teilen (also mit 1/x erweitern). Anschließend sollte man mit einer kleinen Begründung den Grenzwert ablesen können.

06.02.2012, 12:46

1Q84

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Danke für eure Antworten!

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Die Funktion hat sehr wohl einen Grenzwert, der Quotient der nach dem Anwenden der Regel von L'Hospital da steht, jedoch nicht mehr. Somit kann man
mit L'H keine Aussage über die Konvergenz/Divergenz der Originalfunktion treffen. Die Regel gilt eben nur, falls $\begin{eqnarray*} \lim\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ überhaupt existiert.

Mir ist das leider noch nicht so ganz klar. Woher weiß ich, ob ein Grenzwert exisitiert, also ob ich L'Hospital anwenden kann? Wie kann ich herausfinden, ob $\begin{eqnarray*} \lim\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ existiert?

06.02.2012, 12:58

mYthos

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Dass man hier nicht (!) L'Hospital anwenden darf, liegt an noch etwas ganz anderem.
Habt ihr euch eigentlich die Voraussetzungen dafür angesehen?

Dazu muss eine der unbestimmten Formen $\begin{eqnarray*} \frac {\infty}{\infty}, \ \frac 0 0, \ 0 \cdot \infty \end{eqnarray*}$ vorliegen (die dritte ist auf eine der beiden ersten zurückzuführen), andernfalls ist die Anwendung von L'Hospital gar nicht zulässig.

mY+

06.02.2012, 12:59

alpenmilch

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Indem du limes superior und limes inferior ermittelst und vergleichst. Dann und nur dann wenn diese beiden Werte identisch sind existiert der Limes und ist gleich dem gemeinsamen Wert. Bei cos+2/-sin+2 sind limsup und liminf nicht gleich.

Q-fLaDeNs Ansatz durch x zu teilen halte ich für den einzig sinnvollen.

06.02.2012, 13:01

klarsoweit

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RE: Warum darf man L'Hospital hier nicht anwenden?
Einfach ganz formal die Regeln anwenden.

An dieser Stelle: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{sin(x)+2x}{cos(x)+2x} \end{eqnarray*}$ gehen Zähler und Nenner gegen unendlich und man kann l'Hospital anwenden, vorausgesetzt, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{cos(x)+2}{-sin(x)+2} \end{eqnarray*}$ einen Grenzwert hat. Das ist aber nicht der Fall und somit ist l'Hospital für diese Aufgabe gestorben.

Die beste Methode ist, in $\begin{eqnarray*} \frac{sin(x)+2x}{cos(x)+2x} \end{eqnarray*}$ ein x zu kürzen.

EDIT: jetzt bin ich der Dritte im Bunde. Ich halte mich dann wieder raus.

06.02.2012, 13:02

alpenmilch

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/edit: @mYthos, die Voraussetzung ist sehrwohl erfüllt, sin+2x/cos+2x geht gegen die Form oo/oo.

06.02.2012, 13:14

mYthos

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RE: Warum darf man L'Hospital hier nicht anwenden?
Sorry, ich habe mich darauf bezogen:

Zitat:

Original von mathinitus

Zitat:

Original von 1Q84
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{cos(x)+2}{-sin(x)+2} \end{eqnarray*}$
...

...

Nach der vorhergehenden erstmaligen Anwendung von L'Hospital ergab sich sofort, dass kein Grenzwert existiert, weil sinx und cosx beliebige Funktionswerte zwischen -1 und +1 annehmen können.

Im Übrigen wollte ich die Aussage von Q-fLaDeN dementsprechend (wann die Regel von L'Hospital nicht angewandt werden darf) ergänzen.

mY+

03.07.2012, 17:42

blablabl

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RE: Warum darf man L'Hospital hier nicht anwenden?
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{sin(x)+2x}{cos(x)+2x}=\lim_{x \to \infty } \frac{sin(x)}{cos(x)+2x}+\lim_{x \to \infty } \frac{2x}{cos(x)+2x}=0+1=1 \end{eqnarray*}$

Wo ist das Problem? Da braucht man einfach keinen l'hopistal.

03.07.2012, 18:23

mYthos

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Es hat ja niemand behauptet, dass es ohne L'Hospital nicht geht. Die Frage war doch vielmehr, WARUM L'Hospital anfangs nicht anwendbar war.

mY+

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