Eigenschaft Normal (bei Körpern)

Neue Frage »

mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaft Normal (bei Körpern)
Ich habe mal eine Frage. Sei L/K eine normale Körpererweiterung. Kann es dann einen Körper geben, so dass L/K' nicht normal ist?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe mir nun überlegt, dass so gewählt werden sollte, dass L/K' zumindest noch algebraisch ist. Aber setzen wir das einmal voraus. Ist die Sache dann normal?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Gegenfrage: Wieso sollte es so einen Körper nicht geben?

Nimm dir irgendeine nicht normale Erweiterung und betrachte dann als Gegenbeispiel.(oder irgendeinen Zerfällungskörper über L)
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von galoisseinbruder
Gegenfrage: Wieso sollte es so einen Körper nicht geben?

Nimm dir irgendeine nicht normale Erweiterung und betrachte dann als Gegenbeispiel.(oder irgendeinen Zerfällungskörper über L)


Ich verstehe nicht, wieso das ein Gegenbeispiel sein soll. Bleiben wir mal in meiner Notation. Was ist dann K, K' und L?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

O.k. Gegenbsp. ist in diesem Kontext das falsche Wort.
Es kann solche K' geben, i.A. sogar sehr viele. Bei komplett unkonkretemLl ist es aber schwer irgendwelche Unterkörper zu bilden. Und falls ist der algebraische Abschluß. Meine Konstruktion soll etwas Ähnliches verdeutlichen: Man kann auf jede nicht-normale Erweiterung eine normale draufsetzen.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von galoisseinbruder
Meine Konstruktion soll etwas Ähnliches verdeutlichen: Man kann auf jede nicht-normale Erweiterung eine normale draufsetzen.


Das geht nicht immer, sondern genau dann, wenn die vorherige Erweiterung algebraisch war.
Dass es dann der Fall ist, ist natürlich klar. Zur Not nehme man einfach den algebraischen Abschluss.

Ich habe hier aber einen andere Frage gestellt. Ich habe das L bereits vorgegeben und weiß sogar schon, dass es ein K gibt, in dem das L eine normale Erweiterung darstellt. Die Frage ist nun, ob daraus automatisch folgt, dass die Erweiterung L/K für alle algebraischen Unterkörper K auch normal ist. Bewiesen haben wir diese Folgerung explizit nur für alle Zwischenkörper. Also in dem Fall ist die Sache auf jeden Fall wahr, aber man könnte sich ja auch andere Unterkörper K vorstellen.
 
 
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir noch nicht ganz im Klaren was deine Frage ist.
ist normal. Für ist auch normal, da die Polynome aus K'[X] auch Polynome in K[X] sind.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, aber K und K' müssen ja nicht zwingend in einer Teilmengenrelation stehen.

Edit: Aber sonst hat man ja: normal und damit auch , oder?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt ja doch dann aber, die Eigenschaft "normal" zu sein, ist keine Eigenschaft, die man einer Körpererweiterung zuordnen sollte, sondern vielmehr eine Eigenschaft, die man einem Körper zuzuordnen hätte.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »