Ebenengleichung erstellen parallel |
| 06.02.2012, 10:11 | Panther1987 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ebenengleichung erstellen parallel ich hätte eine kurze Frage zu dieser Art Aufgabe. Und zwar muss eine Ebenengleichung zu der oberen Ebene erstellt werden, die parallel zur oberen ist und den Abstand 2 hat. Die obere Ebene in Parameterform zu ermitteln ist ja kein Problem. Aber wie erstelle ich aus dieser eine paralle 2. Ebene. Es wird ja wohl kaum reichen, nur die 3. Komponente des Ortsvektor der 2. Ebene einfach um 2 zu verringern, oder?? Danke für Eure Tipps. LG Sebastian Nach Geometrie verschoben. Gruß, Gualtiero |
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| 06.02.2012, 10:57 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ebenengleichung erstellen parallel Deine Idee würde funktionieren, wenn die Tischplatte parallel zur xy-Ebene wäre, das ist sie aber nicht. Das sieht man an den Koordinaten der drei Punkte auf der Platte. Die Platte soll ja im rechten Winkel auf sich selbst nach unten kopiert werden. Wie heißt der Vektor, der diese Bedingung erfüllt? Nütze auch die Suchfunktion, mit dem Begriff "parallele Ebene" findest Du viele Beispiele, die als Ideengeben dienen. (Ob nicht genau dieses Beispiel schon mal besprochen wurde 
).Falls es nichts bringt, melde Dich auf jeden Fall hier wieder. |
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| 06.02.2012, 11:13 | Panther1987 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ebenengleichung erstellen parallel Hi, bin parallel schon sämtliche websites am Durchsuchen, hab auch ähnliche Aufgaben gefunden, nur war bei denen entweder die Platte parallel zur x1,x2-Ebene, so dass man einfach die 3. Komponente verändern konnte, oder es war zumindest ein Punkt der gesuchten Ebene gegeben, was das ganze in dem Fall, stark vereinfacht. Ich weiss ja, dass der Normalenvektor bei beiden Ebenen gleich sein soll. Ich hatte schon überlegt; Die Paramterform der Ebene in Koordinatenform zu überführen ax1+bx2+cx3=z den schnittpunkt mit der x3 achse zu bestimmen, dann diesen schnittpunkt um 2 abzusenken und eine 2. Ebene mit diesem Punkt und den richtungsvektoren der 1. Ebene zu erstellen und damit die 2. Ebene zu erstellen. Aber ich glaube das ist zu kompliziert gedacht. Im Anschluss daran kann man ja die genauen Punkte der Ebene durch Schnittpunkte der Geraden mit der konstruierten Ebene ermitteln |
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| 06.02.2012, 11:36 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst durchaus bei der Koordinatenform der Ebenengleichung bleiben. Der Übergang auf die Parameterform ist hier kontraproduktiv. Parallele Ebenen haben den gleichen Normalvektor (!). Der Normalvektor ist direkt aus den Koeffizienten der Koordinatengleichung (Normalform) ersichtlich. Dort: --> Ebenengleichungen und Abstand bestimmen wurde die gleiche Aufgabe schon behandelt. Allerdings erscheint - wie schon bemerkt - der Weg über die Parameterform eher rechenintensiv. Bestimme statt dessen aus den beiden Richtungsvektoren möglichst gleich den Normalvektor n mittels des Vektorproduktes. Die im Abstand A zu der Ebene parallelen Ebenen unterscheiden sich bei deren Koordinatengleichung nur in der Konstanten, diese verändert sich um . Bemerkung: Bei den Koordinatenangaben steht noch überall die Zahl a dabei. Man kann sie während der Rechnung wie eine Einheit ansehen, im Resultat muss sie allerdings wieder aufscheinen. mY+ |
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| 06.02.2012, 11:59 | Panther1987 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, danke für den Link. Ist ja genau das gleiche Problem, das ich auch habe. -Ich scheine aber ein bisschen fitter zu sein, als der Fragensteller damals. -Mein Problem ist nur einen Punkt der Platte zu finden. Danach ist es ja kein Problem die Richtungsvektoren der alten Platte zu verwenden. Habe jetzt nur den Schritt nicht ganz verstanden, wie man von dem Normalenvektor der beakannten Ebene auf einen einen unbekannten Punkt der gesuchten Platten-Ebene kommt. Wie bekommt man den n-Vektor um 2 verschoben, sodass dieser dann einen Ortsvektor der neuen Ebene darstellt. Danach ist der Rest kein Problem bei mir. War leider bei dem Link etwas durcheinander, weil der Fragensteller immer wieder was zwischen fragte. Ich habe jetzt folgenden n-Vektor für die obere Ebene ermittelt. n=(1, 1/4, -15/4) Kann einer das ein vielleicht ein bisschen kleinschrittig erklären, (am besten mit Zahlen, ist anschaulicher) wie man aus dem n jetzt irgendeinen Punkt in der neuen Ebene mit Abstand 2 erstellt. Vielen Dank |
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| 06.02.2012, 12:03 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ich finde den Link im Gesamten auch nicht unbedingt optimal. Siehe bitte nochmals meinen gerade editierten Beitrag von vorhin! mY+ EDIT: Dein Normalvektor stimmt nicht. Es sollte sich (4; 15; -14) ergeben! Mache doch die Probe mit den Skalarprodukten (m. d. Richtungsvektoren), diese müssen 0 werden. |
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| 06.02.2012, 14:32 | Panther1987 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, stimmt, hab den Fehler im n-Vektor entdeckt. Komm jetzt auch auf (1, 15/4, -42/12) bzw. (4, 15, -14) kannst du vielleicht den nächsten Schritt etwas genauer erklären? Was ich jetzt mit dem Vektor und dem Abstand 2 machen muss, um daraus dann einen Ortvektor der Ebene zu machen? Danke |
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| 06.02.2012, 15:00 | Panther1987 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm ich könnte ja vielleicht den Vektor zu P1 minus dem n-Vektor rechnen und würde dann zu einem Punkt in der unbekannten Ebene kommen. Problem ist nur, dass der n-Vektor nicht die Länge 2 hat. Sondern in dem Fall 20,9. Aber ich könnte ja die Gleichung aufstellen: 20,9 = 2 *x nach x auflösen und würde x=10,45 rausbekommen. Wenn ich jetzt den n-Vektor durch 10,45 dividiere, käme der n-Vektor (0,383, 1,435, 1,34) raus und dieser hätte die Länge 2. Kann ich dann diesen Vektor bzw. davon den Gegenvektor einfach auf den Vektor zu P1 hinzu addieren und käme dann auf einen Punkt auf der unbekannten Ebene?? Ist vielleicht nicht der eleganteste Weg, aber könnte doch funktionieren. Hab im Anhang mal ein Bild, wie ich mir das denke Danke |
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| 07.02.2012, 01:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich werde im Laufe des Tages nochmals auf deine Frage zurückkommen, für jetzt ist es mir zu spät ... Gr mY+ |
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| 07.02.2012, 19:01 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diesen Weg solltest du weiterverfolgen, er beruht auf der Hesse'schen Normalform (HNF). Er entspricht allerdings im Wesentlichen auch dem von dir angedachten Vorgehen, welches vielleicht etwas rechenintensiver, aber richtig ist. Das letzte Problem ist es, herauszufinden, in welche Richtung das Doppelte des normierten Normalvektors abzutragen ist, denn es gibt dabei zwei Vorzeichen. Dazu kann man das Vorzeichen des Abstandes des Nullpunktes mit dem des Abstandes von P1 von der Ebene vergleichen. Beide sind positiv, also liegen P1 und O auf derselben Seite der Ebene. Somit ist der gegenständliche Teil des Normalvektors von P1 aus in positiver Richtung (also unverändert) anzuhängen. Das solltest du so lange wie möglich allgemein rechnen, denn die Rundungen zwischendurch können das Resultat ungenau machen. Bemerkung: Die Skizze ist alles andere als maßstabsgerecht. Die weitere Rechnung ergibt dann beispielsweise den Punkt P9 = rd. (-1,65; -0,65; -5,29), welcher tiefer liegt als P4. Alle anderen Werte sind ebenfalls irrational. Alternativ kann man den doppelten normierten Normalvektor auf die Strecke P1P4 projizieren (Skalarprodukt) und somit jenen Teil berechnen, den der Vektor P1P9 des Vektors P1P4 beinhaltet (er ist größer als 1, d.h. die Stützplatte gerät unterhalb des Punktes P4, wie oben ebenfalls schon erkannt). Derjenige, der sich diese Angaben ausgedacht hat, gehört verprügelt 
mY+ |
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| 07.02.2012, 22:42 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dem letzten satz von mythos kann ich mich nur anschließen 
eine alternative möglichkeit wäre es, zuerst den punkt zu bestimmen und damit erst die stützplattenebene mit a = 1 |
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