Erbsen rollen über die Treppe ..

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The_Lord1957 Auf diesen Beitrag antworten »
Erbsen rollen über die Treppe ..
Meine Frage:
Frage 450623 aus der 45. Mathematik-Olympiade 2005/2006
Erbsen rollen über die Treppe
Überall auf den Treppenstufen liegen viele Erbsen. Die Treppe hat 14 Stufen. Jede Erbse, die
über eine Stufe rollt, setzt auf der nächsten Stufe eine weitere Erbse in Bewegung. Sie bleibt
aber auf der übernächsten Stufe liegen, nachdem sie auch dort eine Erbse in Bewegung gesetzt
hat. Oben beginnt das Ganze mit einer rollenden Erbse.

a) Gib an, wie viele Erbsen auf der 1., 2., 3. und 4. Stufe ankommen!
b) Wie viele Erbsen kommen schlie¼lich ganz unten, auf der 14. Stufe, an?

Meine Ideen:
Die frage wurde meiner Tochter gestellt.
Sie ist in der 6. Klasse.
Wir haben hier zuhause alle gerechtnet und nach einer Lösung gesucht.
Ich der Vater habe so gerechnet das in der Reihenfolge die Erbsen Stufe eins Null Erbsen ankommen und wie folgt dann 1-2-4-8-16-32-64-128-256-212-1024-2048-4096 und so weiter.
Meine Frau wollte in unserem Treppenhaus mit Erbsen experimentieren ;-),
das liesen wir dann und haben einen Mathematik Professor befragt und der sprach von "Fibonacci", mich würde Interessieren ob oder welche Lösung die richtige ist.
Mit freundlichen und neugierigen Grüßen Uwe Graf
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst auf jeder Stufe bei den ankommenden Erbsen jeweils unterscheiden, ob sie ihren ersten oder ihren zweiten (und dann letzten) Stufenübergang hinter sich haben.

Sei dementsprechend

... Anzahl der auf der n-ten Stufe ankommenden Erbsen im ersten Stufenübergang
... Anzahl der auf der n-ten Stufe ankommenden Erbsen im zweiten Stufenübergang

Offenbar ist sowie





was dann direkt zur Fibonacci-Rekursion führt.
 
 
Trak92 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn das jetzt weniger mathematisch ist, aber klarmachen kann man sich sowas auch an einem Diagramm:

Man zeichnet 14 Spalten für die Stufen, und in den Zeilen rollen jeweils die Erbsen los. Jedes mal wenn eine Erbse von einer Stufe auf die nächste rollt malt man einen horizontalen strich in der zeile. Nach zwei Strichen ist es vorbei...

So kann man die Zahlen ermitteln und dann von denen aus auf die Folge schließen.

Man kann doch kaum von 6-klässlern verlangen mit der Fibonacci-Folge intuitiv zu rechnen...
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Das hatte ich nicht gesehen, dass das 6.Klasse ist. Nun gut, dann würde man es eben nicht mit Folgen symbolisieren, sondern durch reine Rechenschemata - inhaltlich kommt es letztendlich auf dasselbe hinaus. Augenzwinkern

Warum soll die Aufgabe nicht für Sechstklässler geeignet sein? Es geht hier nicht um Pflichtleistungen für eine Zensur, sondern um einen Wettbewerb. Und Teilaufgabe a) führt die Schüler ja auch langsam an den Sachverhalt heran.
Trak92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab ja nicht gesagt, dass sie nicht geeignet ist, ich meinte nur, dass man von Ihnen nicht erwarten kann, die Fibonacci Folge zu kennen, oder Sie direkt aus dem Problem zu extrahieren, deshalb habe ich angemerkt, dass man es sich erstmal graphisch klarmachen kann was passiert und dann eine Gleichung aufzustellen...
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

@The_Lord1957

Da das bisher hier im Thread nicht zur Sprache gekommen ist, hier mal noch der Fehler, den du in deinen Betrachtungen gemacht hast:

Bei dir fällt jede Erbse immer und immer weiter, von Stufe zu Stufe. In der Aufgabenstellung ist aber klar festgehalten, dass jede rollende Erbse nur zwei Stufenübergänge bewältigt und dann stehenbleibt! Dementsprechend sind die von dir erhaltenen Zweierpotenzanzahlen viel zu hoch. unglücklich
The_Lord1957 Auf diesen Beitrag antworten »
Erbsen zählen
Hallo und guten Tag erst eimal,

Danke das soviele sich unseres Problems angenommen haben,
was es aber nicht kleiner macht, verwirrt

Ich hänge an der Erbse fest die nach 2 Stufen liegen bleibt, aber noch eine weiter anstößt,
so das die Zahl meines erachtens weiter in 2er Potenzen sich erhöht.

Ich werde das Problem wenn sie heute Nachmittag aus der Schule kommt noch mal angehen und die Lösungsansätze von euch nochmal durchgehen mit Ihr und dann werden wir uns noch mal melden.

MfG
uwe Graf (The_Lord1957)
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von The_Lord1957
Ich hänge an der Erbse fest die nach 2 Stufen liegen bleibt, aber noch eine weiter anstößt,
so das die Zahl meines erachtens weiter in 2er Potenzen sich erhöht.

Eben nicht: Du lässt in deiner Zählerei nicht nur die neue Erbse, sondern auch die alte weiterrollen - sieh es ein.
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