Maximales Ideal

06.02.2012, 13:22

Thomas007

Maximales Ideal

Hi miteinander!

Ich habe eine Frage: Kann ich sagen, dass aus X³-X = (X)(X+1)(X-1) folgt, dass Q[X] kein Ideal ist ?
Also das heisst: Falls eine Zerlegung des Polynoms (hier in Q) existiert folgt, dass es nicht maximal ist.
Ist das korrekt so?

MfG, Thomi

06.02.2012, 16:23

lgrizu

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RE: Maximales Ideal
Ich werde aus deiner Fragestellung nicht schlau....

Zitat:

Ich habe eine Frage: Kann ich sagen, dass aus X³-X = (X)(X+1)(X-1) folgt, dass Q[X] kein Ideal ist ?

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ ist der Ring der Polynome in einer Veränderlichen über dem Körper Q, soll die Frage vielleicht sein, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] / X^3-X \end{eqnarray*}$ kein Ideal in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ ist?

Wie kommst du darauf? verwirrt

Zitat:

Also das heisst: Falls eine Zerlegung des Polynoms (hier in Q) existiert folgt, dass es nicht maximal ist.

...Und auf einmal geht es um maximale Ideale.......

Also, bitte formuliere die Frage so, dass sie verständlich ist.

06.02.2012, 19:22

Thomas007

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Tut mir leid wegen der schwammigen Formulierung. Also, gesucht sind die Ideal von Q[X] / (X³-X).

Zuerst mal: Wieso ist Q[X] / (X³-X) ein Ideal?

Und zu den gesuchten Idealen: Dort sind dann einfach jene maximal, die man nicht weiter zerlegen kann, oder?

07.02.2012, 09:49

lgrizu

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Also noch einmal, was ist gefragt?

Sollst du zeigen bzw. wiederlegen, dass das von dem Polynom $\begin{eqnarray*} x^3+x \end{eqnarray*}$ erzeugte Ideal ein maximales Ideal ist?

Schreib die Aufgabe doch einmal so hioer hin, wie du sie bekommen hast.

07.02.2012, 09:59

mathinitus

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RE: Maximales Ideal

Zitat:

Original von lgrizu
soll die Frage vielleicht sein, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] / X^3-X \end{eqnarray*}$ kein Ideal in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ ist?

Wieso das denn? $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] / (X^3-X) \end{eqnarray*}$ ist doch noch nicht einmal Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ , also erst recht kein Ideal. Das sind doch beides Ringe mit unterschiedlichen Elementen.

07.02.2012, 10:16

lgrizu

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RE: Maximales Ideal

Zitat:

Original von lgrizu
soll die Frage vielleicht sein, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] / X^3-X \end{eqnarray*}$ kein Ideal in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ ist?

Es geht wohl um das Ideal, das von $\begin{eqnarray*} x^3-x \end{eqnarray*}$ erzeugt wird und dann um die Betrachtung des Restklassenrings $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] /x^3-x \end{eqnarray*}$ .

...und selbstverständlich ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/x^3-x \subset \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ ........

Aber die genaue Aufgabenstellung ist mir noch nicht klar....

Edit: - statt +.....

07.02.2012, 17:12

Thomas007

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RE: Maximales Ideal
@lgrizu:
Genau, also ich habe: Das von X^3-X erzeugte Ideal ist in Q[X] kein maximales Ideal, da: X^3 -X = (X+1)(X)(X-1) , also zerlegbar ist.
Die Ideale sind dann: (X^3-X), (X^2-1), (X^2-X), (X^2+X), X, (X+1), (X-1), 1.

07.02.2012, 21:27

lgrizu

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RE: Maximales Ideal
Genau, jedes von den Idealen, die von den von dir genannten Polynomen erzeugt werden enthält auch das Ideal, das von x³-x erzeugt wird.

07.02.2012, 22:05

Thomas007

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RE: Maximales Ideal
Danke!

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