Direkte Summe, Hom, Isomprh, Kern Bild

16.01.2007, 21:34	Rudy	Auf diesen Beitrag antworten »
Direkte Summe, Hom, Isomprh, Kern Bild Es seien U,V,W Vektorräume über K. Weiter seien $\begin{eqnarray} f:U \rightarrow V \;und\; g: V \rightarrow W \end{eqnarray}$ Homomorphismen und die Verknüpfung $\begin{eqnarray} h = g \circ f : U \rightarrow W \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} V = Im f \oplus Ker g \end{eqnarray}$ Hallo Ich habe mir dazu gedacht, dass weil h ein Isomorphismus ist (ein linearer Homomorphismus), ist h auch bijektiv. Somit ist f und g bijektiv, und da gelten ja die Formel F: V auf W linear, dann gilt F surjektiv genau dann wenn Im F = W F injektiv genau dann wenn Ker F = {0} Das habe ich auf die Aufgabe übertragen und gesagt, Im f = Im V (weil die Funktion f ja von V auf irgendetwas abbildet). Dann zu g - da das gleiche eigentlich. Ker g = {0} (da g ja auch bijektiv ist) für die direkte Summe gilt dann ja $\begin{eqnarray} Im V \cap Ker g = {0} \end{eqnarray}$ und es muss gelten V = Im V +0 die Null kommt vom Ker G. Also habe ich da jetzt V = Im V. Ich glaube nicht, dass das stimmt? Vielen lieben dank für Hilfe Rudy
16.01.2007, 21:46	ArminTempsarian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Direkte Summe, Hom, Isomprh, Kern Bild Ohne jetzt alles durchgelesen zu haben, aber: aus der Tatsache, dass: $\begin{eqnarray} h:= f \circ g \end{eqnarray}$ bijektiv ist, folgt im Allgemeinen nicht, dass $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bijektiv sind, wie ich meine. Gruß Armin
16.01.2007, 22:02	Rudy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das gefällt mir jetzt aber gar nicht, denn dann wäre ja mein gesamter Ansatz kaputt. Es sei denn f wäre surjektiv und g injektiv. Kann mir denn hier jemand sagen, wie es richtig geht?
17.01.2007, 21:04	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe interessiert mich auch schließe mich also dem Rudy an (Naja ausserdem wird so der Threat gepushed )

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