Elastizitätskoeffizient & -funktion erstellen

06.02.2012, 14:31

K.O. Sinus

Elastizitätskoeffizient & -funktion erstellen

Zuerst einmal ein Hallo an das Forum.

Leider hatte ich dieses Schuljahr gesundheitlich Pech und habe daher besonders in Mathe wichtige Dinge verpasst. Nun bin ich bei meinem Selbststudium der Materie, trotz dreier Mathebücher und eingehender Internetrecherche, an meine Grenzen gestoßen.

Was Elastizitäten sind und wozu man sie wirtschaftlich braucht bzw. wie man sie interpretieren kann ist mir bekannt. Dies ist nicht schwer zu verstehen. Ich scheitere jedoch an der Interpretation bzw. Umsetzung der angegebenen Formeln.

Was ich absolut gar nicht verstehe ist die Formel für den Koeffizient e(x) die da wie folgt lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{delta x}{x} \end{eqnarray*}$
____________ $\begin{eqnarray*} = \frac{delta x} {delta p(x)} \cdot \frac{p(x)}{x} = e(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{delta p(x)}{p(x)} \end{eqnarray*}$

Hierzu bräuchte ich dringend eine Erklärung, am besten Anhand eines Beispieles oder zumindest ordentliche Denkanstöße, damit ich verstehe, was man wo und wieso einsetzen muss bzw. wie es sich in der Formel verhält.
Auf meiner Suche nach, für mich verständlichen, Beispielen bin ich leider verzweifelt.

Gehe ich richtig in der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} delta x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} delta p(x) \end{eqnarray*}$ die Ableitungen der jeweiligen Dinge sind? Sozusagen x' und p'(x).
Ist es weiterhin richtig, dass ich x ermitteln kann indem ich die p(x) Funktion nach x umstelle?
Beispiel: $\begin{eqnarray*} p(x)=10-2x |-p ^ +2x -> 2x=10-p |:2 -> x=5-0,5p \end{eqnarray*}$
Demnach $\begin{eqnarray*} x'=-0,5 \end{eqnarray*}$ & $\begin{eqnarray*} p'(x)=-2 \end{eqnarray*}$ ?

Mein zweites Problem ist das Erstellen einer Elastizitätsfunktion anhand einer Nachfragefunktion.

Aufgabe:
Gegeben -> $\begin{eqnarray*} pN\left(x\right)=9-0.25x² \end{eqnarray*}$
Gesucht -> $\begin{eqnarray*} eN(x) \end{eqnarray*}$ & Dök

Laut dem Schulbuch ist $\begin{eqnarray*} eN(x)=\frac{pN(x)}{x\cdot p'N(x)} \end{eqnarray*}$

Wende ich diese Information nun an hätte ich im Zähler von e(x), 9-0,25x² stehen.
Leider komme ich mit dem Herausfinden von x nicht klar.
Mein Versuch war dieser:
$\begin{eqnarray*} p(x)=9-0,25x² |+0,25x² \wedge -p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,25x²=9-p |\sqrt {x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,5x=3-\sqrt {p} \end{eqnarray*}$

Ist dieser Lösungsansatz zumindest in der Angehensweise richtig oder wo mache ich den entscheidenden Fehler?

Die Lösung dieser Aufgabe ist laut Lösungsbuch $\begin{eqnarray*} \frac{18-0,5x²}{x²} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nun nicht, wie man auf diese 18-0,5x² im Zähler kommt und auf das x² im Nenner.
Was übersehe bzw. vergesse ich hier um von 9-0,25x² auf die Lösung zu kommen? Einfach die pN(x) mal 2 rechen wird sicher nicht der richtige Weg sein.

Den ökonomischen Definitionsbereich (0;6] bekomme ich heraus, wenn ich die pN(x) Funktion nullsetze und nach x auflöse - falls ich mich nicht irre. Jedenfalls stimmt auf diese Art mein Ergebnis mit dem des Lösungsbuches überein.

Über freundliche Hilfe würde ich mich sehr freuen, da ich bei dieser Problematik absolut nicht mehr weiter weiß und es wohl kaum etwas bringt, die "Erklärungen" in den Mathebüchern zum 10. Mal zu lesen.

Mit freundlichen Grüßen

06.02.2012, 16:47

lgrizu

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RE: Elastizitätskoeffizient & -funktion erstellen
Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx}=f' \end{eqnarray*}$ , also die Ableitung von f nach der Variablen x.

Wenn man nun die Elastizität betrachtet, dann ist $\begin{eqnarray*} e(x)=\frac{dx}{dp} \cdot \frac{p}{x}=\frac{1}{\frac{dp}{dx}} \cdot \frac{p}{x}=\frac{1}{p'} \cdot \frac{p}{x} \end{eqnarray*}$ .

07.02.2012, 14:44

K.O. Sinus

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Hallo. Danke erstmal für die Antwort.

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx}=f' \end{eqnarray*}$ Das verstehe ich nicht so ganz. Ist das auf den Koeffizienten bezogen? Ist f hier ein Ersatz für p?

Bei deiner e(x) Formel. Wenn ich da das letzte Beispiel nehme, welches mir am verständlichsten erscheint, kann ich das auf meine Beispielfunktion (p(x)=10-2x) so übertragen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{-2} \cdot \frac{10-2x}{x} = -0,5 \cdot (\frac{10}{x}-2) \end{eqnarray*}$ ?

Was diese mathematische Schreibweise angeht, wie du sie geschrieben hast, macht leider mein Vorstellungsvermögen schlapp solange ich diese nicht mit einem oder besser mehreren verschiedenen Beispielen nachvollziehen kann. Das ist auch das Hauptproblem an den Mathebüchern, da dort die Beispiele zu Elastizitäten entweder gar nicht aufgezeigt werden oder viel zu kurz kommen.

Es wäre weiterhin schön, wenn man nochmal auf meine zweite Frage eingehen könnte, wie ich die Elastizitätsfunktion erstelle und von den anfänglichen 9-0,25x² auf die 18-0,5x² der Lösung komme. Ich schreibe am Donnerstag eine Klausur wo höchstwahrscheinlich mindestens eine Aufgabe das Erstellen so einer Funktion enthält. Daher wäre es schön, das Prinzip dafür zu verstehen.

07.02.2012, 15:57

lgrizu

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f ist eine Funktion, eine beliebige. Ist richtig, in deinem Fall hat f den Namen p Augenzwinkern

In deinem ersten Post hast du einen Fehler, es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{9-p} \neq 3 - \sqrt{p} \end{eqnarray*}$ , das sollte aber bekannt sein.

Für die Nachfragefunktion $\begin{eqnarray*} p(x)=-2x+10 \end{eqnarray*}$ ist die Elastizität richtig berechnet, diese ist $\begin{eqnarray*} e(x)=-\frac{1}{2} \cdot \frac{-2x+10}{x} \end{eqnarray*}$ .

Dann betrachten wir einmal die Nachfragefunktion (preis in Abhängigkleit von der Menge) $\begin{eqnarray*} p(x)=-\frac{1}{4}x^2+9 \end{eqnarray*}$ .

Zu bestimmen ist nun prinzipiell nur $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p'} \cdot \frac{p}{x} \end{eqnarray*}$ , analog zu dem anderen Beispiel.

08.02.2012, 04:54

K.O. Sinus

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Nach einigem Überlegen und Probieren scheint es nun klick gemacht zu haben.
Allerdings gibt es noch eine kleine Ungereimtheit beim erstellen der Funktion.

Hier mal mein Rechenweg:

$\begin{eqnarray*} pN(x)=-0,25x^2+9 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p'N(x)=0,5x \end{eqnarray*}$

Nehme ich nun $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p'} \cdot \frac{p}{x} \end{eqnarray*}$ zur Berechnung komme ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} eN(x)=\frac{1}{0,5x} \cdot \frac{-0,25x²+9}{x} = 2x \cdot \frac{-0,25x²+9}{x} = \frac{-0,5x³+18x}{2x²} \frac{-0,5x²+18}{2x} \end{eqnarray*}$

Änder ich dies aber etwas um, so dass es mit der Erklärung im Buch $\begin{eqnarray*} eN(x)=\frac{pN(x)}{x\cdot p'N(x)} \end{eqnarray*}$ stimmt komme ich auf das Ergebnis des Lösungsbuches:

$\begin{eqnarray*} eN(x)=\frac{1}{0,5x} \cdot \frac{-0,25x²+9}{x\cdot 0,5x} = 2x \cdot \frac{-0,25x²+9}{0,5x²} = \frac{-0,5x³+18x}{x³} = \frac{-0,5x²+18}{x²} \end{eqnarray*}$

Wo liegt der Fehler beim ersten Rechenweg von mir oder kann man $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p'} \cdot \frac{p}{x} \end{eqnarray*}$ hier nicht direkt anwenden und muss es so machen wie im 2. Weg?

Jedenfalls denke ich ist es in dem Buch einfach schlecht oder sogar falsch (?) formuliert.
Dort heißt es:

Zitat:

Es gilt in diesem Fall also für den Kehrwert des Steigungsmaßes einer Nachfragefunktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p'N(x)} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} eN(x)=\frac{pN(x)}{x\cdot p'N(x)} \end{eqnarray*}$ .

Hätte man stattdessen $\begin{eqnarray*} eN(x)=\frac{1}{p'N(x)} \cdot \frac{pN(x)}{x\cdot p'N(x)} \end{eqnarray*}$ geschrieben, hätte ich mir sehr viel Zeit, Nerven und Kopfschmerzen gespart.

Ich danke jedenfalls für die Hilfe.
Oft sind es die kleinen Sachen, die das Große verständlich machen. Hammer

Ich werd mir nun mal die Übungsaufgaben vornehmen und schauen ob noch irgendwelche Probleme auftreten.

08.02.2012, 07:17

K.O. Sinus

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Hm, mir drängt sich der Verdacht auf, dass die Lösung aus dem Lösungsbuch falsch ist.

In meinem anderen Mathebuch steht ebenfalls, dass e(x)=p(x) : (x * p'(x)) ist.

Interessanterweise sind alle folgenden Lösungen für die weiteren Aufgaben auf diese Weise berechnet worden, also mit $\begin{eqnarray*} \frac{-0,25x²+9}{x\cdot 0,5x} \end{eqnarray*}$ respektive dieser Anwendung der Elastizitätsfunktion.

Sieht so aus, dass mir der Einstieg in dieses Thema durch eine falsche Lösung des offiziellen Lösungsbuches unnötig erschwert wurde... Freude

Also nochmal kurz zusammengefasst:

Die $\begin{eqnarray*} eN(x)=\frac{-0,25x²+9}{x\cdot0,5x} \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich dann auch eine proportional elastische Nachfrage bei x = 3,46

Bsp: e = -1
$\begin{eqnarray*} -1=\frac{-0.25x²+9}{0,5x²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = -0,25x²+9=0,5x² | +0,25x² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9=0,75x² | :0,75 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12=x² | \sqrt{} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3,46=x \end{eqnarray*}$

Diese Vorgehensweise habe ich aus dem anderen Mathebuch übernommen.

Allerdings verstehe ich noch nicht, wie man dazu kommt den Nenner einfach anstelle des -1 nach dem Gleichzeichen einzusetzen? Es wäre schön, wenn mir das einmal gesagt würde, damit ich es verstehe.

Jedenfalls funktionierte diese Methode bis jetzt bei allen anderen Aufgaben.

08.02.2012, 07:55

lgrizu

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Das ist beides äquivalent zueinander, ja sogar das selbe.

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p'} \cdot \frac{p}{x}=\frac{p}{x \cdot p'} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} eN(x)=\frac{1}{0,5x} \cdot \frac{-0,25x²+9}{x} = 2x \cdot \frac{-0,25x²+9}{x} = \frac{-0,5x³+18x}{2x²} \frac{-0,5x²+18}{2x} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn hier darauf, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{-\frac{1}{2}x}=-2x \end{eqnarray*}$ ist? verwirrt

Das ist ziemlich falsch, wie kommt das x in den Zähler?

Die Lösung im Lösungsbuch scheint aber tatsächlich nicht zu stimmen, kann es sein, dass du ein Vorzeichen vernachlässigt hast?

Im Normalfall (außer bei Luxusgütern oder "Hamsterkäufen") ist die Elastizität der Nachfrage auch negativ, also eine Preissenkung führt zu einer Zunahme des Absatzes, und eine Abnahme des Absatzes führt zu einer Preissteigerung, es gibt also immer genau ein negatives Vorzeichen.

In dem Def Bereich (0,6) ist die Elastizitätsfunktion $\begin{eqnarray*} e(x)=\frac{-\frac{1}{2}x^2+18}{x^2} \end{eqnarray*}$ aber stets positiv, wohingegen die Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2}x^2-18}{x^2} \end{eqnarray*}$ auf dem Defbereich negativ ist, was besser passen würde.

Wir rechnen wie folgt:

Die Funktion ist $\begin{eqnarray*} p(x)=-\frac{1}{4}x^2+9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p'(x)=-\frac{1}{2}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{p'(x)}=-\frac{1}{\frac{1}{2}x}=-\frac{2}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{p'(x)} \cdot \frac{p(x)}{x}=-\frac{2}{x} \cdot \frac{-\frac{1}{4}x^2+9}{x}=\frac{\frac{1}{2}x^2-18}{x^2} \end{eqnarray*}$ .

08.02.2012, 09:45

K.O. Sinus

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Zitat:

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p'} \cdot \frac{p}{x}=\frac{p}{x \cdot p'} \end{eqnarray*}$ .

Stimmt. Mein Fehler war, dass ich den ersten Bruch zu einer ganzen Zahl aufgelöst habe und dann mit dem zweiten Bruch oben wie unten multipliziert habe. Das ist natürlich totaler Quark. An die simplen Bruchrechenregeln habe ich da gar nicht gedacht.

Zitat:

Wie kommst du denn hier darauf, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{-\frac{1}{2}x}=-2x \end{eqnarray*}$ ist?

Auch wieder den Bruch zur ganzen Zahl gemacht (1:0,5) und das x da stehen lassen. Dummer Fehler, aber gut das ich ihn jetzt gemacht habe und daraus lerne ihn nicht wieder zu machen. ^^

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{p'(x)}=-\frac{1}{\frac{1}{2}x}=-\frac{2}{x} \end{eqnarray*}$

Also war der ganze Trick dabei, auf den ich nicht gekommen bin, den Bruch mal 2 zu rechnen um auf 1x zu kommen. Dann erklärt sich natürlich auch die Lösung aus dem Lösungsbuch.
Dass da ein Vorzeichenfehler ist kann gut möglich sein. Zwei Aufgaben weiter ist denen sowas nochmal passiert.

Was ich nur merkwürdig finde ist, dass bei allen anderen Lösungen die e-Funktion nach dem beschriebenen Schema gebildet wurde, so dass der Zähler immer genau der p(x) Funktion entsprach und nicht verändert wurde. Warum sie das nun gerade in der allerersten Aufgabe zu dem Thema anders machen als im Rest der Aufgaben ist mir ein Rätsel.

Danke nochmal für die Hilfe. Nun scheine ich dieses, eigentlich einfache Thema, entsprechend zu verstehen, um es vernünftig anwenden zu können.

08.02.2012, 09:50

lgrizu

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Zitat:

Was ich nur merkwürdig finde ist, dass bei allen anderen Lösungen die e-Funktion nach dem beschriebenen Schema gebildet wurde, so dass der Zähler immer genau der p(x) Funktion entsprach und nicht verändert wurde. Warum sie das nun gerade in der allerersten Aufgabe zu dem Thema anders machen als im Rest der Aufgaben ist mir ein Rätsel.

Ich verstehe nicht, was du sagen möchtest. Wenn die Nachfragefunktion eine Gerade ist, dann ist die Ableitung konstant.

Ansonsten schön, dass es "klick" gemacht hat. Wenn du noch Fragen hast jederzeit gerne wieder.

09.02.2012, 12:47

mYthos

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RE: Elastizitätskoeffizient & -funktion erstellen

Zitat:

Original von lgrizu
Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx}=f' \end{eqnarray*}$ , also die Ableitung von f nach der Variablen x.

Wenn man nun die Elastizität betrachtet, dann ist $\begin{eqnarray*} e(x)=\frac{dx}{dp} \cdot \frac{p}{x}=\frac{1}{\frac{dp}{dx}} \cdot \frac{p}{x}=\frac{1}{p'} \cdot \frac{p}{x} \end{eqnarray*}$ .

Es sei jedoch angemerkt, dass dies (allg. für die Funktion p = p(x)) nicht richtig ist.
Hierfür ist $\begin{eqnarray*} e_p(x) = \frac{p' \cdot x} {p(x)} \end{eqnarray*}$

Die Elastizität der Umkehrfunktion x = x(p) ist dann $\begin{eqnarray*} \frac 1 {e_p(x)} = \frac{p(x)}{p' \cdot x} \end{eqnarray*}$ , also der Kehrwert der Elastizität der ursprünglichen Funktion.
Daher ergibt sich wieder (wegen $\begin{eqnarray*} p' = \frac 1 {x'} \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} e_x(p) = \frac{x' \cdot p} {x(p)} \end{eqnarray*}$

mY+

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