Vektorrechnung bei Punkten mit Variable (k)

06.02.2012, 14:32	NoFunction	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung bei Punkten mit Variable (k) Hallo Leute, als Vorbereitung für das kommende Zentralabitur gab uns unser Lehrer eine Aufgabe aus dem Abi 2009. Diese habe ich angehangen. Leider kann ich dazu keine Lösung finden, sonst würde ich mir die Vorgehensweise daraus selbst erarbeiten. Daher bitte ich um eure Mithilfe. Mir geht es im Allgemeinen erst einmal darum, wie ich mit einem Punkt umgehe, der eine Variable beinhaltet. In dem Beispiel aus der Abituraufgabe wäre es: Gegeben sind die Punkte $\begin{eqnarray} A(4\|2\|0), B(1\|4\|1), C_{k}(6-3k\|2k-2\|k) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S(2\|3\|6) \end{eqnarray}$ . Die Punkte $\begin{eqnarray} C_{k} \end{eqnarray}$ liegen auf einer Geraden c und die Eckpunkte $\begin{eqnarray} A, B, C_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ bilden ein Tetraeder. a) Die Punkte A und B liegen auf einer Gerade g. (1) Geben Sie je eine Gleichung für die Gerade c und g an. (2) Zeigen Sie, dass die Geraden g und c parallel und nicht identisch sind. Also eine Geradengleichung aufstellen kann ich, aber durch die Variable k in Punkt C, weiß ich nicht, wie ich das angehen soll und habe daher auch keinen Lösungsansatz. Ich danke für eure Hilfe
06.02.2012, 15:09	STFan	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} C_k \end{eqnarray}$ ist sozusagen jeder Punkt auf der Geraden c, je nach Wert von k. Setze einfach mal verschiedene Werte für k ein... also berechne mal den Punk $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} C_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C_3 \end{eqnarray}$ - fällt Dir etwas auf?
06.02.2012, 15:15	NoFunction	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort. Das Problem ist, in einer alten Klausur (die ich leider nicht mehr finde), hatte ich auch einfach einen Wert für k eingesetzt und das wurde als Fehler angestrichen. Die Rechnung sollte so weitergeführt werden, dass k als Variable erhalten bleibt, also eine allgemeine Gleichung die für alle k gilt. Ich denke, das ist hier auch gefragt?
06.02.2012, 15:28	STFan	Auf diesen Beitrag antworten »
Setz trotzdem mal zwei Werte für k ein, stelle die Geradengleichung auf und vergleiche sie mit dem Punkt $\begin{eqnarray} C_k \end{eqnarray}$ Für eine Geradengleichung brauchen wir Stützvektor, Skalar und Richtungsvektor. Und genau das haben wir auch hier gegeben - k ist unser Skalar; der Rest ist einfache Multiplikation und Addition.
06.02.2012, 16:03	NoFunction	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Also gemacht hab ich nun: $\begin{eqnarray} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Habe also für k 1 und 0 eingesetzt. Da beide den gleichen Richtungsvektor haben sind sie parallel oder identisch. Da sie aber keinen gemeinsamen Punkt haben, was ich z.b. durch t=0 prüfen kann, sind sie nicht identisch. Damit ist Aufgabe 1 & 2 von a gelöst, oder?
06.02.2012, 16:11	STFan	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau Allerdings müsstest Du nicht einmal einsetzen um auf die Geradengleichung zu kommen; das war eigentlich nur, damit Du es selbst siehst. Schau Dir mal das hier an: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 6-3k \\ 2k-2 \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
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06.02.2012, 20:09	NoFunction	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, das hab ich dann soweit verstanden. Danke STFan!

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