orthogonaler Vektor Länge 1

06.02.2012, 14:50

sirius7

orthogonaler Vektor Länge 1

Hallo. könnt ihr bitte nur überprüfen, ob das hier richtig ist)
Muss einen Vektor von Länge 1 finden der auf beiden Vektoren senkrecht steht.

$\begin{eqnarray*} a=\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} b=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zuerst berechne ich Spatprodukt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
kommt Vektor
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 15 \\ 15 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus (?)
Dann berechne ich den Betrag dieses Vektors $\begin{eqnarray*} \sqrt{15^2+15^2+5^2} \end{eqnarray*}$

und komme so auf die Länge 21,7 (22)
der Einheitsvektor hat somit die Länge
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{22} \end{eqnarray*}$

dann ist der orthogonaler Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{22}*\begin{pmatrix} 15 \\ 15 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
oder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 15/22 \\ 15/22 \\ 5/22 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist das so richtig? Gruss

06.02.2012, 15:36

original

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RE: orthogonaler Vektor Länge 1

Zitat:

Original von sirius7

zuerst berechne ich Spatprodukt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
kommt Vektor
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 15 \\ 15 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus (?)

das was du ( richtig ! ) berechnet hast, nennt sich Kreuzprodukt
oder vektorielles Produkt (Spatprodukt ist was anderes ! )

du könntest dann auch zB den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als ein Normalenvektor nehmen,

egal, ein NormalenEINHEITSvektor ist jedenfalls entweder
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{19} } \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder, wenn du willst , auch:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{475} } \cdot \begin{pmatrix} -15 \\ -15 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ smile

06.02.2012, 15:48

sirius7

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RE: orthogonaler Vektor Länge 1
Hallo Original! vielen Dank für die Antwort! nun verstehe ich jetzt nicht warum im Lösungsvektor die Komponenten plötzlich mit minus stehen? ist das so richtig? Gruss

06.02.2012, 15:59

original

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RE: orthogonaler Vektor Länge 1

Zitat:

Original von sirius7
nun verstehe ich jetzt nicht
warum im Lösungsvektor die Komponenten plötzlich mit minus stehen?
ist das so richtig? Gruss

warum nicht mit Minus? smile

es gibt ZWEI Einheitsvektoren, also zwei Lösungen für deine Aufgabe ..
die unterscheiden sich in der Orientierung : beide haben die Länge 1 und sind senkrecht auf a und b

ok?

nebenbei:
berechne mal:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ smile

06.02.2012, 16:03

sirius7

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RE: orthogonaler Vektor Länge 1
achsooo, so ist das)) super, vielen, vielen Dank! endlich verstehe ich wie das abläuft! Wink

06.02.2012, 16:27

sirius7

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RE: orthogonaler Vektor Länge 1

Zitat:

Original von original

nebenbei:
berechne mal:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ smile

hmm komme auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -15 \\ -15 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
geil)) hätte nie gedacht)

06.02.2012, 16:39

original

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RE: orthogonaler Vektor Länge 1

Zitat:

Original von sirius7

hmm komme auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -15 \\ -15 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Freude

geil

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -15 \\ -15 \\ -5 \end{pmatrix} = -5 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

..................... Wink

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