Grenzwert von Integral

06.02.2012, 17:09

keks89

Grenzwert von Integral

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

"Gegeben sei eine beschränkte Funktion $\begin{eqnarray*} f: R^m -> R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \int_{R^m} |f(x)| dx < \infty \end{eqnarray*}$ .
Zeige für d>0:

$\begin{eqnarray*} lim_{\epsilon -> 0} 1/\epsilon^m \int_{|x|>d} e^{-|x|^2/(\epsilon^2)} f(x) dx = 0 \end{eqnarray*}$ "

Meine Ideen:
Leider habe ich keine Ahnung, was für einen Ansatz ich hier nehmen soll...

Vielen Dank schonmal für eure Antworten! =)

06.02.2012, 18:46

ThomasL

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RE: Grenzwert von Integral
es gelte $\begin{eqnarray*} |f(x)| \le K \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ , und sei $\begin{eqnarray*} R>d \end{eqnarray*}$ . Dann

$\begin{eqnarray*} \left| \int_{d\le \|x\|\le R} e^{-\|x\|^2/\epsilon^2} f(x)\, dx\right| \le K \int_{d\le \|x\|\le R} e^{-\|x\|^2/\epsilon^2}\, dx =K\omega_m \int_d^Rr^{m-1}e^{-r^2/\epsilon^2}\, dr \end{eqnarray*}$

nun die Exponentialfunktion abschätzen, und dann $\begin{eqnarray*} R\to\infty \end{eqnarray*}$

Ich sehe allerdings nicht, wo man hier braucht, dass das Integral von $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ endlich ist...

07.02.2012, 00:18

keks89

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RE: Grenzwert von Integral
Danke für deine Antwort. Ich bin nur noch etwas verwirrt: Was ist $\begin{eqnarray*} \omega_m \end{eqnarray*}$ und wie genau hast du substituiert?

07.02.2012, 10:43

ThomasL

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RE: Grenzwert von Integral
beim zweiten Schritt habe ich Polarkoordinaten im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ benutzt (siehe zB. hier). Da der Integrand nur vom Radius abhängt, kann man die Integrale über die Winkel zu einer Konstanten $\begin{eqnarray*} \omega_m \end{eqnarray*}$ zusammenfassen (es ist die Oberfläche der Einheitssphäre $\begin{eqnarray*} \{x\in\mathbb{R}^m; \|x\|=1\} \end{eqnarray*}$ , aber das ist für die Rechnung unwichtig). Das ergibt dann die Formel

$\begin{eqnarray*} \int_{r_1\le \|x\|\le r_2} f(\|x\|)\, dx =\omega_m \int_{r_1}^{r_2}r^{m-1}f(r)\, dr \end{eqnarray*}$

übrigens: ich bin bei meiner Antwort gestern davon ausgegangen, dass die Integrale im Riemannschen Sinn gemeint sind. Wenn du aber das Lebesgue-Integral verwendest, so ist es nicht nötig, das $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ einzuführen - man kann dann dieselben Schritte direkt mit dem Integrationsbereich $\begin{eqnarray*} \{\|x\|>d\} \end{eqnarray*}$ durchführen.

07.02.2012, 11:23

keks89

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RE: Grenzwert von Integral
Mag sein, dass ich mich da jetzt beim Verstehen richtig dumm anstell, aber könntest du mir das nochmal ausführlich aufschreiben, wann du was und wie gemacht hast? Wäre dir da sehr dankbar... =)

07.02.2012, 15:31

ThomasL

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RE: Grenzwert von Integral
zuerst ziehen wir den Betrag ins Integral und benützen, dass $\begin{eqnarray*} |f(x)|\le K \end{eqnarray*}$ für alle x:

Zitat:

Original von ThomasL

$\begin{eqnarray*} \left| \int_{d\le \|x\|\le R} e^{-\|x\|^2/\epsilon^2} f(x)\, dx\right| \le K \int_{d\le \|x\|\le R} e^{-\|x\|^2/\epsilon^2}\, dx \end{eqnarray*}$

Im neuen Integral rechts hängt nun der Integrand nur noch vom Betrag ab. Deshalb verwenden wir die Formel

Zitat:

Original von ThomasL

$\begin{eqnarray*} \int_{r_1\le \|x\|\le r_2} f(\|x\|)\, dx =\omega_m \int_{r_1}^{r_2}r^{m-1}f(r)\, dr \end{eqnarray*}$

Eine Herleitung davon findest du in den Büchern, z.B. in Walter, Analysis 2, Seite 254.
Es bleibt dann noch ein eindimensionales Integral, das man weiterbearbeiten kann, wie oben angedeutet.

08.02.2012, 09:53

keks89

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RE: Grenzwert von Integral
Ok, danke, soweit hab ich alles verstanden, nur was ist mit dem $\begin{eqnarray*} 1/\epsilon^m \end{eqnarray*}$ vor dem Integral bei dir passiert?

08.02.2012, 15:41

ThomasL

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RE: Grenzwert von Integral
das (und auch den Limes) habe ich in der obigen Rechnung nicht mitbetrachtet - das kann man am Schluss machen

08.02.2012, 16:15

keks89

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RE: Grenzwert von Integral
Okay, hier stoß ich dann nämlich auch nochmal auf ein Problem:

Vor dem Integral geht $\begin{eqnarray*} 1/\epsilon \end{eqnarray*}$ gegen unendlich und im Integral geht das e-hoch-blabla gegen 0, wie krieg ich da denn eins von beiden weg?

08.02.2012, 16:46

ThomasL

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RE: Grenzwert von Integral
zuerst $\begin{eqnarray*} e^{-r^2/\epsilon^2} \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen

08.02.2012, 19:49

keks89

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RE: Grenzwert von Integral
Alles klar, danke euch allen, hat geklappt! =)

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