Determinate berechnen

06.02.2012, 16:16	otto12	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinate berechnen Meine Frage: Hallo, wie berechne ich die Determinate einer solchen nxn Matrix? $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & ... & 2 \\ 2 & 2 & 2 & ... & 2 \\ 2 & 2 & 3 & ... & 2 \\ ... \\ 2 & 2 & 2 & ... & n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wie man die Derminate an sich berechnet weiß ich. So komme ich auf folgende Werte für einzelne Determinaten: 2x2 Matrix: det(A)=-2 3x3 Matrix: det(A)=-2 4x4 Matrix: det(A)=-4 5x5 Matrix: det(A) = -12 wie kann man jetzt auf die Determinate der nxn Matrix schließen?
06.02.2012, 16:44	eingeloggt	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplaceschen Entwicklungssatz probiert?
06.02.2012, 16:56	otto12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, damit habe ich die 4x4 und 5x5 Matrix berechnet. Doch ich sehe kein Muster darin...
06.02.2012, 17:04	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch ein paar elementare Zeilenumformungen, z.b. könnte man die zweite Zeile von allen anderen abziehen. Dann sieht man auch sofort, wie das Muster bei deinen Beispielrechnungen entsteht.
06.02.2012, 17:28	otto12	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, jetzt sehe ich das auch. Demnach kann man sagen, dass bei einer 2x2 Matrix die Determinate -2 ist. Bei allen anderen nxn Matrizen berechnet sich die Determinate wie folgt: det(A)=n-2*(det(n-1))
06.02.2012, 18:55	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Da nach der genannten Umformung die Matrix eine Dreiecksmatrix ist, ist die Determinante das Produkt der Elemente auf der Diagonalen. Das ist in dem Fall $\begin{eqnarray} -1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n=-2\prod_{1}^{n-2}n=-2\cdot (n-2)! \text{ für } n\ge 2 \end{eqnarray}$
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