Erwartungstreue zeigen

06.02.2012, 16:50	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungstreue zeigen Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} X_1,...,X_n\sim_{i.i.d}\operatorname{SG}[0,\lambda] \end{eqnarray}$ . Man zeige, daß $\begin{eqnarray} \hat{\lambda}=\frac{n+1}{n}\max\left\{X_i~\|~1\leq i\leq n\right\} \end{eqnarray}$ erwartungstreuer Schätzer für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Hallo! Im Grunde ist es mir klar, was man zeigen muß, nämlich $\begin{eqnarray} E_{\lambda}\left(\frac{n+1}{n}\max\left\{X_i~\|~1\leq i\leq n\right\}\right)=\lambda \end{eqnarray}$ . Bei den Details hapert es allerdings bzw. bin ich mir unsicher. Aber ich beginne einfach mal: Zunächstmal: $\begin{eqnarray} E_{\lambda}\left(\frac{n+1}{n}\max\left\{X_i~\|~1\leq i\leq n\right\}\right)=\frac{n+1}{n}E(\max\left\{X_i~\|~1\leq i\leq n\right\}) \end{eqnarray}$ Jetzt muß ich noch irgendwie herausfinden, was denn der Erwartungswert der Zufallsvariable $\begin{eqnarray} Y:=\max\left\{X_i~\|~1\leq i\leq n\right\} \end{eqnarray}$ ist. Da ich dafür sicherlich eine Dichte brauche, muss ich wohl erstmal die Verteilungsfunktion aufstellen und dann ableiten. $\begin{eqnarray} F_{Y}(z)=P(Y\leq z)=P(\max\left\{X_i~\|~1\leq i\leq n\right\}\leq z) \end{eqnarray}$ Ist dies identisch mit $\begin{eqnarray} P(X_1\leq z,X_2\leq z,...,X_n\leq z) \end{eqnarray}$ ? Denn wenn das größte $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ kleiner/gleich z ist, so doch auch alle anderen $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ ? Dann wäre wegen der identischen Verteilung und der Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} P(X_1\leq z,...,X_n\leq z)=P(X_1\leq z)\cdot ... \cdot P(X_n\leq z)=(P(X_1\leq z))^n=(F_{X_1}(z))^n \end{eqnarray}$ . Hier würde ich nun meinen: $\begin{eqnarray} F_{X_1}(z)=\begin{cases}<br /> 0 & z\leq 0\\<br /> \frac{z}{\lambda} & 0\leq z\leq\lambda\\<br /> 1 & z\geq\lambda<br /> \end{cases} \end{eqnarray}$ Also würde das bedeuten: $\begin{eqnarray} F_{Y}(z)=\begin{cases}<br /> 0 & z\leq 0\\<br /> \frac{z^n}{\lambda^n} & 0\leq z\leq\lambda\\<br /> 1 & z\geq\lambda<br /> \end{cases} \end{eqnarray}$ Die Dichte wäre dann $\begin{eqnarray} f_{Y}(z)=\begin{cases}<br /> n\cdot z^{n-1}\cdot \lambda^{-n} & 0\leq z\leq\lambda\\<br /> 0 & \text{sonst}<br /> \end{cases} \end{eqnarray}$ Jetzt fehlt mir ja eigentlich nur noch der letzte Schritt, nämlich die Berechnung des Erwartungswerts. Muss ich da nun rechnen: $\begin{eqnarray} E(Y)=\int_{0}^{\lambda}z\cdot f_{Y}(z)\, dz= \end{eqnarray}$ ? Da habe ich heraus: $\begin{eqnarray} \frac{n\cdot(\lambda-\lambda^{-n})}{n+1} \end{eqnarray}$ . Wenn ich das dann multipliziere mit $\begin{eqnarray} \frac{n+1}{n} \end{eqnarray}$ , so komme ich schlussendlich leider auf $\begin{eqnarray} \lambda-\lambda^{-n} \end{eqnarray}$ , aber eben nicht auf $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Irgendwo muss also der Wurm drin sein. Dankeschön fürs Durchlesen bis hierher.
06.02.2012, 17:16	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht richtig aus Edit: Jetzt nicht mehr, hast falsch integriert.
06.02.2012, 17:17	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber es kommt ja (jedenfalls nach meiner Rechnung) nicht $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ heraus.
06.02.2012, 17:22	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst eigentlich nur z^n integrieren Edit: Unser Prof hat uns da ne Geschichte dazu erzählt. Ich wieß nicht mehr, ob wir wirklich eine stetige Verteilung hatten, aber sei's drum: In irgendeinem Krieg (tippe mal 1. WK) hatte eine Fraktion Ihre Panzer durchnummeriert. Die andere Fraktion hat nun aus den eroberten Panzern mit Hilfe dieses Schätzers die Gesamtzahl der Panzer recht genau abgeschätzt. Im Klartext: Haben die Panzer 7, 1434, 375, 423 und 234 erobert und dann 1435 geschätzt . Fand ich cool
06.02.2012, 17:27	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige, ich verstehe gerade nicht, was Du meinst. Kannst Du es erklären?
06.02.2012, 17:33	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_0^{\lambda} z^n=\lambda^{n+1}/(n+1) \end{eqnarray}$
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06.02.2012, 17:39	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt habe ich auch $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ heraus. Vielen lieben Dank!
06.02.2012, 19:13	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
jern jeschehn

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