Resonanz Verständnisfrage

06.02.2012, 18:31

lurcker

Resonanz Verständnisfrage

Hallo,

ich habe eine Verständnisfrage beim Thema DGL "Typ der rechten Seite".

Ich habe eine DGL mit konst. Koeffizienten und rechne mit dem exponential Ansatz die Nullstellen des char. Polynoms aus. So weit, so gut.

Jetzt kann ich eine partikuläre Lösung mittel "Typ der rechten Seite/ Inhomogenität" bestimmen.
Dazu muss ich die DGL auf Resonanz prüfen. Genau hier habe ich ein paar Probleme.

Resonanz liegt, so weit ich es verstanden habe, vor, wenn die Nullstellen des char. Polynoms auch die Nullstellen der Inhomogenität sind. Liege ich da richtig?

Warum ist dann zum Beispiel bei $\begin{eqnarray*} y''+y'= xsinx \end{eqnarray*}$ Resonanz?
Das char. homogene Polynom hat die Nullstellen +i/ -i und das sind keine NS von xsinx?

06.02.2012, 20:11

Cel

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Das charaketeristische Polynom hat andere Nullstellen. Guck dir noch mal an, wie es gebildet wird.

06.02.2012, 20:36

HAL 9000

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Anscheinend soll es um

$\begin{eqnarray*} y''+y = x\sin(x) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

gehen. Aber hier

Zitat:

Original von lurcker
Resonanz liegt, so weit ich es verstanden habe, vor, wenn die Nullstellen des char. Polynoms auch die Nullstellen der Inhomogenität sind. Liege ich da richtig?

[...]

Das char. homogene Polynom hat die Nullstellen +i/ -i und das sind keine NS von xsinx?

hast du ja was vollkommen durcheinander gebracht bzw. zumindest völlig verkorkst aufgeschrieben:

Für Resonanz wird doch nicht gefordert, dass die Nullstellen des charakteristischen Polynoms auch Nullstellen des Störgliedes sind. unglücklich

Nein, das Störglied muss von der Struktur $\begin{eqnarray*} p(x)e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$ sein, mit einem Polynom $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ sowie einer Nullstelle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ des charakteristischen Polynoms!!! Das ist etwas eklatant anderes als das, was du da geschrieben hast.

Zu deinem Beispiel: Es ist $\begin{eqnarray*} x\sin(x) = -\frac{ix}{2} \left( e^{ix} - e^{-ix} \right) \end{eqnarray*}$ , es ist also in Bezug zur DGL (*) die Summe genau solcher Resonanz-Störgliedterme!

06.02.2012, 20:56

lurcker

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Zitat:

Original von HAL 9000
Anscheinend soll es um

$\begin{eqnarray*} y''+y = x\sin(x) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

gehen. Aber hier

Zitat:

Die Aufgabe lautet:
$\begin{eqnarray*} y''+y = x\sin(x) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

Und die Lösung ist:

http://s1.bild.me/bilder/060112/6895906Capture.PNG

$\begin{eqnarray*} x\sin(x) = -\frac{ix}{2} \left( e^{ix} - e^{-ix} \right) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht, wie man die Resonanz erkennen kann. Könnte es mir bitte jemand kurz in deutlichen Worten erklären?
Das würde mir unheimlich weiterhelfen, denn im Moment stehe ich komplett auf dem Schlauch. traurig

07.02.2012, 18:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von lurcker
Ich verstehe nicht, wie man die Resonanz erkennen kann. Könnte es mir bitte jemand kurz in deutlichen Worten erklären?

Soso, kürzer und deutlicher als das hier:

Zitat:

Original von HAL 9000
das Störglied muss von der Struktur $\begin{eqnarray*} p(x)e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$ sein, mit einem Polynom $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ sowie einer Nullstelle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ des charakteristischen Polynoms!!!

Da muss ich passen, ich finde das schon so kurz wie möglich. Eigentlich auch so deutlich wie nötig, aber es reicht ja offenbar nicht.

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