Polynome und Faktorringe

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PridStift Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome und Faktorringe
Meine Frage:
Hallo!

Es ist folgendes gegeben:



Und ich frage mich, wie man darauf kommt.



Meine Ideen:
Also zunächst schätze ich mal, dass die Elemente wohl Repräsentanten sind (und eigentlich sind die Linksnebenklassen gemeint?)
ist das Hauptideal, welches von erzeugt wird?
Da ich im bin, kann das nur sein:





Oder? Was sind in diesem Fall eigentlich die Gleichheitszeichen? Kongruenzen Modulo 2? Welche Art von Multiplikation ist das eigentlich? In welchem Ring?
Denn, im Prinzip rechne ich eigentlich

------
Nun aber kommt meine größte Schwierigkeit: Der Faktorring.
Ich muss also die Menge betrachten:



Wie komme ich damit auf obiges?




Lieben Gruß,

PridStift
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Also zunächst schätze ich mal, dass die Elemente wohl Repräsentanten sind (und eigentlich sind die Linksnebenklassen gemeint?) ist das Hauptideal, welches von erzeugt wird?

das ist alles vollkommen korrekt.

Zitat:
Da ich im bin, kann das nur sein:

Ich habe keine Ahnung was du damit sagen wollst. Nach Def. ist . Z.B. ist auch X³+X² enthalten.

Zitat:
Oder? Was sind in diesem Fall eigentlich die Gleichheitszeichen? Kongruenzen Modulo 2? Welche Art von Multiplikation ist das eigentlich? In welchem Ring?

Dein Ring ist . Wie ist der definiert?
PridStift Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke für die schnelle Antwort.
Diese Definition ist mir aus der Vorlesung leider nicht bekannt, wir haben insgesamt nur sehr kurz über Ringe gesprochen. Dass das multiplikativ ist verwirrt mich.

Aber gut, wie ist das mit . In etwa:

Polynome mit Koeffizienten aus

Also eine Polynommultiplikation.

Aber leider weiß ich immernoch nicht so richtig, was dann dieser Faktorring ist, geschweige denn, wie man da drauf kommt.
Das ist sicherlich auch additiv, also:



unglücklich
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Diese Definition ist mir aus der Vorlesung leider nicht bekannt, wir haben insgesamt nur sehr kurz über Ringe gesprochen. Dass das multiplikativ ist verwirrt mich.

Ein Ring hat eine Multplikation, die sollte sich dann auch in der Def, eines Ideals wiederfinden.
Wie habt ihr denn das von erzeugtes Ideal definiert? Oder auch nur ein Hauptideal?
Zitat:
Aber leider weiß ich immernoch nicht so richtig, was dann dieser Faktorring ist, geschweige denn, wie man da drauf kommt.

Es gibt eine Def. von Faktorring. Also: Definition nachschlagen.
PridStift Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Definition eines Faktorringes:

Übertragen also auf obiges:



Dann mit der mir neuen Definition aufgelöst:



Also Elemente (Mengen in diesem Fall) der Form:




...

mit

Dann gilt also:



Okay! Das sieht doch schon verdächtig nach Teilen mit Rest aus; nur eben mit Polynomen, statt mit ganzen Zahlen.
Jetzt kommt über die Analogie auch eine Vermutung, wieso es gerade sind, denn das sind Polynom, die "kleiner" sind, also mögliche Reste. Kleiner heißt hier wohl kleineren Grades?
Und das fehlende Polynom, nun ja: .

Okay, ich werde mal versuchen, dass irgendwie zu beweisen, dass es gerade diese sind, mit dem neu gewonnen Wissen. : )
Befinde ich mich denn auf dem richtigen Weg?
Pridstift Auf diesen Beitrag antworten »

Zur später Stunde dann noch nur eine ungefähre Skizze:

1. Punkt: Wieso alle Polynome kleineren Grades (nun immer: bzgl. und Polynome nun immer ) jeweils nicht in einer Restklasse eines anderen liegen:

Sei ein solches Polynom, so dass also gilt: und aber , wobei schon Polynom mit dem kleinsten Grad aus dieser Restklasse sei (müsste ich zeigen, dass es solch eines gibt?)
Dann muss gelten:



Doch daraus folgt:

, welches ein Widerspruch zur Annahme ist, oder aber und somit , welches auch ein Widerspruch ist.



2. Punkt: Wieso mit allen Polynomen kleineren Grades schon alle Restklassen gefunden wurden.

Sei ein Polynom mit , dann gilt:



und somit , wobei entsprechend mit kleinerem Grad als .

-------

smile ... würde das so funktionieren? smile

Also im Allgemeinen nun: wenn ich die Elemente solch eines speziellen Faktorrings bestimmen möchte, muss ich die Polynome bestimmen, deren Grad kleiner ist?
Hm... wie ich sehe, irgendwie fehlt ... Nun, sind es einfach Polynom, deren Grade strikt kleiner sind? Oder habe ich etwas anderes übersehen?

Lieben Gruß und geruhsame Nacht!
 
 
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht alles sehr vielversprechend aus.

Das fehlt nicht, denn . Das gilt sogar allgemein: , denn auch hier gilt:
Wegen ist im Faktorring die höchste Potenz von f durch ein Polynom von kleinerem Grad ausdrückbar.
PridStift Auf diesen Beitrag antworten »

Hm... verwirrt

in Deinem Beitrag? :/.

Leider kann ich die erste Zeile nicht nachvollziehen, und auch die untere nicht; ich verstehe wohl nicht so richtig, wie man mit Polynomen (oder vllt. im Allgemeinen?) mit mod rechnet.

Lässt sich die höchste Potenz von (f) durch ein Polynom kleineren Grades darstellen, dann bildet natürlich keine eigene Restklasse, sondern ...? Hm.. ja...
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die "erste" Zeile heißt ganz ausgechriben:
.

Bedenke dass durch die Quotienten folgendes gilt:
, also z.B.
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