Struktur linearer Gleichungssysteme

06.02.2012, 20:18	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Struktur linearer Gleichungssysteme Meine Frage: Gegeben sei die Matrix A = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 7 \\ 1 & 3 & 4 & 3 & 10 \\ 1 & 3 & 2 & 3 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} b =\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Untersuchen sie ob das Gleichungssystem Ax = b eine Lösung x besitzt Bestimmen sie im Falle der Existenz eine solche Lösung. Bestimmen sie Kern und Rang von A. Verifizieren sie hieran die Identität dim Ker(A) + rang(A) = 5 Meine Ideen: Zunächst habe ich einmal die Matrix auf folgende Form gebracht $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 7 \\ 1 & 3 & 4 & 3 & 10 \\ 1 & 3 & 2 & 3 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Durch Umformen komme ich dann auf folgende Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun habe ich das Gleichungssystem aufgestellt und erhalte $\begin{eqnarray} x_{3} = 0<br /> x_{5} = t <br /> x_{2} = 1 - \frac{3t}{2} <br /> x_{4} = r<br /> x_{1} = -\frac{11}{2} -3r +1 \end{eqnarray}$ Damit wäre eine Lösung x = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3r + 1 \\ 1 \\ 0 \\ r \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -\frac{11}{2} \\ -\frac{3}{2} \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ x = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -\frac{11}{2} \\ -\frac{3}{2} \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Den rang kann man meines Wissens gleich ablesen. rang(A) = 3 und jetzt habe ich ein Problem mit dem Kern muss ich nun Ax = 0 setzen ? und was soll ich jetzt verifizieren? Danke im Voraus für jede Hilfe mfg
08.02.2012, 11:44	giu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi snaggy Um die Dimension des Kerns zu berechnen musst Du eigentlich nicht viel machen, denn $\begin{eqnarray} \dim (\text{Kern A}) = n - \mathrm{rang}(\text{A}) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ die Anzahl Spaltenvektoren von A ist.
08.02.2012, 12:25	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau diese Identität sollst du verifizieren, dazu kann man sie dann nicht benutzen. Kern ausrechen indem du Ax=0 berechnest. Dann soll dim Kern(A)+rang(A)=5 sein, oder allgemein sollst du den Dimensionssatz verifizieren, dim Kern (f)+dim Im (f)=dim V, wenn f eine Abbildung f:V-->W ist.

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