Rotationskörper

06.02.2012, 22:33	Hock	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationskörper Meine Frage: Hallo zusammen Es geht um Volumenintegrale. Es sei $\begin{eqnarray} F:=\left\{ (x,0,z):x\geq 0, x^{3}\leq z\leq 8\right\} \end{eqnarray}$ und K der Körper, der entsteht, wenn F um die z-Achse rotiert wird. Ich soll das Volumen von K berechnen. Meine Ideen: Wie der Körper aussieht, weiss ich (habe ihn gezeichnet, sieht wie ein in der Mitte halbierter Football aus). Nun denke ich, muss ich das Volumen mit einem Dreifach-Integral ausrechnen. Ist meine Funktion $\begin{eqnarray} x^{3} \end{eqnarray}$ bzw muss ich dieses Integral ausrechnen: $\begin{eqnarray} \int_0^8 \! \int_2^2 \! \int_2^2 \! x^{3} \, d(x, y, z) \end{eqnarray}$ (Sorry, unten bei den zwei Integralen müsste -2 heissen, nicht 2. Habe dies mit dem Formeleditor nicht besser hinbekommen) Stimmt diese Funktion so oder ist da etwas falsch bzw. macht das überhaupt Sinn? Danke für eure Hilfe!
07.02.2012, 09:27	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann das Volumenintegral auf ein eindimensionales Integral zurückführen, wenn man nicht die Funktion $\begin{eqnarray} z=x^3 \end{eqnarray}$ um die z-Achse rotiert lässt, sondern die inverse Funktion $\begin{eqnarray} z=\sqrt[3]{x} \end{eqnarray}$ um die x-Achse (natürlich im "inversen" Intervall $\begin{eqnarray} x\in[0;8] \end{eqnarray}$ ). Dann entsteht das gleiche Volumen. (Mach' dir mal 'ne Skizze!) Der Vorteil ist, dass man dann die folgende bekannte Formel aus der Schulzeit anwenden kann, welche eine Verallgemeinerung des Zylindervolumens $\begin{eqnarray} V=r^2\pi h \end{eqnarray}$ darstellt: $\begin{eqnarray} V=\int_{x_1}^{x_2} \! r^{2}\pi \, dx \end{eqnarray}$ Setze hier anstelle des Radius r ist die inverse Funktion $\begin{eqnarray} z=\sqrt[3]{x} \end{eqnarray}$ ein und integriere im Intervall $\begin{eqnarray} x\in [x_1;x_2]=[0;8] \end{eqnarray}$ .
07.02.2012, 10:43	Hock	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah natürlich, jetzt sehe ich es! Das Reslutat wäre dann $\begin{eqnarray} V=19\times \frac{1}{5}\times \pi \end{eqnarray}$ Funktioniert denn das immer mit dem Inversen bilden? Denn ich habe hier noch eine andere solche Aufgabe: $\begin{eqnarray} F= \left\{(x,0,z):0\leq x\leq 2,0\leq z\leq e^{x}\right\} \end{eqnarray}$ (wird um die z-Achse rotiert). Hier wäre das Inverse z=ln(x) und würde um die x-Achse rotiert werden, $\begin{eqnarray} x\in (0, e^{2}) \end{eqnarray}$ . Zeichne ich die beiden Körper, dann sehen die aber nicht gleich aus... Ist das egal bzw. sehen die einfach anders aus, haben aber dasselbe Volumen und ist das Inverse einfach besser geeignet um zu rechnen?
07.02.2012, 11:53	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
1.Aufgabe Ich habe da 'was anderes raus: $\begin{eqnarray} V=\int_0^8 \! (x^{1/3})^2 \pi \, dx= \int_0^8 \! x^{2/3}\pi \, dx=\tfrac{3}{5}\cdot 8^{\frac{5}{3}}\pi \end{eqnarray}$ 2.Aufgabe Wenn die Funktion $\begin{eqnarray} z=e^x \end{eqnarray}$ um die z-Achse rotiert im Intervall $\begin{eqnarray} x\in [0;2] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z\in [e^0;e^2] \end{eqnarray}$ , so entsteht das gleiche Volumen wie bei der Rotation der inversen Funktion $\begin{eqnarray} z=\ln(x) \end{eqnarray}$ um die x-Achse, natürlich im "inversen" Intevall $\begin{eqnarray} x\in [e^0;e^2] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z\in [0;2] \end{eqnarray}$ .
07.02.2012, 12:01	Hock	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh super, dann ist das Thema eigentlich gar nicht so schwer Ich muss ja keine Voraussetzungen oder so zeigen? Danke dir herzlichst
07.02.2012, 12:15	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss nur beachten, dass man eine inverse Funktion nur dann bilden kann, wenn die urpsrüngliche Funktion umkehrbar eindeutig ist. Anderenfalls muss man "stückeln".
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07.02.2012, 13:28	Hock	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh stimmt, hab ich ursprünglich auch gehabt und hab es dann noch weiter ausrechnen wollen. Hab mich da wohl noch gründlich verrechnet Also mit "stückeln" meinst du schon, dass man die Funktion dann halt in zwei Bereichen getrennt anschauen würde, wie z.B. x^2 mit x in (- unendlich und 0) und x in (0 und unendlich).
07.02.2012, 14:53	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte nur sagen, dass eine inverse Funktion nur von einer umkehrbar eindeutigen Funktionen gebildet werden kann. Anderenfalls ist die Inverse keine Funktion mehr. Zum Beispiel ist die Funktion y=sin(x) im Intervall [0,90°] umkehrbar eindeutig, aber nicht im Intervall [0,180°], weil die Sinuskurve dann entlang der y-Achse "hochgeht". Man müsste dann zwei Teilintervalle betrachten, um wieder eine eindetige Funktion zu bekommen: erstens [0,90°] und zweitens [90°,180°]. Aber das im Zusammenhang mit deinen Rotationskörpern eigentlich unwichtig.

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