Irreduziblität

06.02.2012, 22:41	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduziblität Hallo miteinander Sei f =X⁴+X³+2 aus F_3[X] gegeben. Unter anderem muss ich ggT(X⁹-X,f) berechnen. (Musterlösungen sind vorhanden - ich poste gerade mal die Teile, die ich nicht ganz verstehe.) Es gilt ja: X⁹=X²³⁺²⁰ = ((X²)²)² * X, womit wir haben: (X²)² = X⁴ = 2X³ + 1 (mod f) ((X²)²)² = (2X³+1)² = X⁶+X³+1 = X²+2X+2 (mod f) ((X²)²)² * X = (X²+2X+2)*X = X³+2X²+2X (mod f). Damit ist ggT(X⁹-X,f) = ggT(X³+2X²+2X,f) und: f = (X+2)(X³+2X²+2X)+(2X+2) X³+2X²+2X = (2X²+2X+2)(2X+2) + 2 womit ggT(X⁹-X,f) = 1. f ist irreduzibel und F_(3&#8308 = F_3[X]/<f> ein Körper mit 3⁴ Elementen. Nun meine Fragen: 1.) Wieso gilt (X²)² = X⁴ = 2X³ + 1 (mod f) ? Bzw. was ich nicht ganz verstehe ist das (mod f) - ich sehe nicht, warum die Kongruenz stimmen sollte. 2.) Auch diese Gleichheit (2X³+1)² = X⁶+X³+1 verstehe ich nicht. 3.) Mit welchem Ziel werden die Umformungen von f = (X+2)(X³+2X²+2X)+(2X+2) X³+2X²+2X = (2X²+2X+2)(2X+2) + 2 gemacht? Bzw. wieso sollte die Gleichheit (f=...) gelten? f ist doch X⁴+X³+2. 4.) Wir haben einen Körper mit 81Elementen, weil f Element von F_3 ist und f von Grad 4 ist, oder? (D.h. also 3⁴ Elemente) Sorry wegen den vielen Fragen - und vielen Dank schon mal fürs Durchlesen MfG, Thomi
06.02.2012, 22:47	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid - ich korrigiere die Formatierungsfehler: Hallo miteinander Sei f =X^4+X³+2 aus F_3[X] gegeben. Unter anderem muss ich ggT(X^9-X,f) berechnen. (Musterlösungen sind vorhanden - ich poste gerade mal die Teile, die ich nicht ganz verstehe.) Es gilt ja: X^9=X^(2^3+2^0) = ((X²)²)² * X, womit wir haben: (X²)² = X^4 = 2X³ + 1 (mod f) ((X²)²)² = (2X³+1)² = X^6+X³+1 = X²+2X+2 (mod f) ((X²)²)² * X = (X²+2X+2)*X = X³+2X²+2X (mod f). Damit ist ggT(X^9-X,f) = ggT(X³+2X²+2X,f) und: f = (X+2)(X³+2X²+2X)+(2X+2) X³+2X²+2X = (2X²+2X+2)(2X+2) + 2 womit ggT(X^9-X,f) = 1. f ist irreduzibel und F_(3^4) = F_3[X]/<f> ein Körper mit 3^4 Elementen. Nun meine Fragen: 1.) Wieso gilt (X²)² = X^4 = 2X³ + 1 (mod f) ? Bzw. was ich nicht ganz verstehe ist das (mod f) - ich sehe nicht, warum die Kongruenz stimmen sollte. 2.) Auch diese Gleichheit (2X³+1)² = X^6+X³+1 verstehe ich nicht. 3.) Mit welchem Ziel werden die Umformungen von f = (X+2)(X³+2X²+2X)+(2X+2) X³+2X²+2X = (2X²+2X+2)(2X+2) + 2 gemacht? Bzw. wieso sollte die Gleichheit (f=...) gelten? f ist doch X^6+X³+2. 4.) Wir haben einen Körper mit 81Elementen, weil f Element von F_3 ist und f von Grad 4 ist, oder? (D.h. also 3^4 Elemente) Sorry wegen den vielen Fragen - und vielen Dank schon mal fürs Durchlesen MfG, Thomi
07.02.2012, 08:15	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es ist $\begin{eqnarray} A\equiv B \mod f :\Leftrightarrow A-B \in (f) \end{eqnarray}$ . z.B. ist $\begin{eqnarray} X^4\equiv 2X^3+1 \mod f \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} X^4-(2X^3+1)=X^4+X^3+2=f \end{eqnarray}$ Und das gilt auch für den ganzen Rest. Beachte auch $\begin{eqnarray} 2=-1 \in \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ .
08.02.2012, 10:43	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke vielmals für die Erklärung! Ich bins nochmals durchgegangen, wobei ich gemerkt habe, dass mir eine Zeile doch noch nicht so klar ist: Warum gilt: X^6+X^3+1 kongruent zu X^2+2X+2 (mod f) ?
08.02.2012, 10:57	giu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Thomas Deine Annahme in Punkt 4 ist korrekt. Der dazugehörige Satz ist folgender: Sei $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ein endlicher Körper mit $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ Elementen, und sei $\begin{eqnarray} m(x) \end{eqnarray}$ ein Polynom mit Grad $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \|F[x]_{m(x)}\| = q^d \end{eqnarray}$ .
08.02.2012, 11:16	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke ..und wie gesagt, die Frage aus dem letzten Post ist bei mir immernoch aktuell..
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08.02.2012, 13:33	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo thomas, das kann ich dir erklären, du machst die polynomdivision (x^6+x^3+1) : (x^4+x^3+2), dann erhälst du als rest x^2+2x+2(wobei man evt vorher -1 durch 2 und -2 durch 1 ersetzen muss, weil wir ja im ring F_3 sind). gruss ollie3

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