Kreis- vs. Ellipsenflächeninhalt.

06.02.2012, 23:32	Dominic21	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreis- vs. Ellipsenflächeninhalt. Meine Frage: Ich habe mich gefragt, ob eine Ellipse mit dem selben Umfang wie ein Kreis, gleichzeitig auch den selben Flächeninhalt hat? Meine Ideen: Ich habe bereits eine ähnliche Frage hier gesehen, aber keine Antwort auf meine Frage. Dort wurde das Beispiel mit einem Quadrat und einem Rechteck gewählt, bei dem beide den Umfang von 40cm haben, somit das Quadrat 10cm x 10cm groß ist (100cm² also) und das Rechteck 5 x 15 groß ist (65cm³). Nun frage ich mich, ob es genauso bei einem Kreis und einer Ellipse so ist. Danke im Voraus
07.02.2012, 01:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Umfang der Ellipse kann nicht durch eine elementare Funktion ausgedrückt werden, daher wird ein Vergleich mit dem Umfang des Kreises schwierig. Bei einer Ellipse (a, b) und dem flächengleichen Kreis (r) muss gelten: $\begin{eqnarray} a \cdot b = r^2 \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ kürzt sich beidseits) mY+
07.02.2012, 14:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \geq b \end{eqnarray}$ seien die Halbachsen der Ellipse, $\begin{eqnarray} e = \sqrt{a^2 - b^2} \end{eqnarray}$ ihre lineare Exzentrität. Betrachte eine Ellipse mit $\begin{eqnarray} a=e=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ . Sie ist zu einer Doppelstrecke entartet, die einmal hin und dann wieder zurück durchlaufen wird. Damit ist der Umfang der Ellipse $\begin{eqnarray} u=4 \end{eqnarray}$ . Ihr Flächeninhalt ist $\begin{eqnarray} A=0 \end{eqnarray}$ . Und zum zweiten eine Ellipse mit $\begin{eqnarray} a=b=\frac{4}{2 \pi} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e=0 \end{eqnarray}$ . Was sind hier Umfang $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ und Flächeninhalt $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ?

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