Existenz von Integral

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07.02.2012, 00:13	keks89	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz von Integral Meine Frage: Hallo zusammen, ich hänge bei folgender Aufgabe: "Gegeben sei g: R->R stetig mit kompaktem Träger. Zeige, dass für alle stetigen Funktionen f: R->R das Integral $\begin{eqnarray} h(x) := \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x-y) dy \end{eqnarray}$ existiert." Um schlechter Stimmung vorzubeugen: Ich habe diese Frage schon auf einer anderen Seite gestellt, habe dort aber seit heute Mittag noch keine einzige Antwort erhalten und rechne auch nicht mehr mit einer Antwort. Von daher hoffe ich, dass es okay ist, diese Frage auch hier zu stellen. Danke schonmal für eure Hilfe! =) Meine Ideen: Leider habe ich hierzu keine Idee, wie ich das zeigen könnte. Vermutlich fehlt mir nur ein kleiner Ansatz, aber er fehlt nunmal leider... =(
07.02.2012, 00:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz von Integral Was heißt es denn, dass das Integral exisiert? Überlege dann warum $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} g(y) dy \end{eqnarray}$ existiert, dann warum $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} g(x-y) dy \end{eqnarray}$ existiert, und schlussendlich noch ein kleiner Schritt warum $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x-y) dy \end{eqnarray}$ existiert.
07.02.2012, 07:20	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichwort: Faltung
08.02.2012, 19:47	keks89	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz von Integral Okay, dankeschön! Ich häng grad nur noch ein bisschen, warum das Integral von f existiert... Dass f stetig ist reicht ja nicht und über den Träger von f weiß ich ja nicht wirklich was, oder? Oder ist es so, dass g einen kompakten Träger hat und ich daraus dann folgern kann, dass f einen um x im Vergleich zu g verschobenen kompakten Träger hat?
08.02.2012, 20:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz von Integral f muss keinen kompakten Träger haben - für f = 1 hast du den Spezialfall dann schon gezeigt, und das ist alleine sicher nicht integrierbar. Was allerdings einen kompakten Träger hat, ist das Produkt von f mit g.
08.02.2012, 20:37	keks89	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz von Integral Für f=1 hab ich dann doch aber nur das Integral über g und das existiert doch wegen dem kompakten Träger, oder nicht? Oder meinst du mit "alleine", dass das Integral von f=1 alleine nicht existiert? Hm okay, und wie kann man das zeigen, dass das Produkt einen kompakten Träger hat bzw. warum ist das so?
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08.02.2012, 20:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz von Integral Genau das wollte ich sagen. Im Groben übernimmt das g hier die hauptsächliche Arbeit daran, dass das Integral existiert. Alles was f dazu leistet ist nicht fürchterlich auszusehen (mathematisch: es ist stetig). Was heißt es denn, dass g einen kompakten Träger hat? Und was heißt es sofort für $\begin{eqnarray} f(x)g(x) \end{eqnarray}$ für x außerhalb diesen Trägers? (Was du eigentlich willst ist zwar eine Aussage über $\begin{eqnarray} f(y)g(x-y) \end{eqnarray}$ , aber das ist nur eine kleine Translation, die, wenn sie denn Unbehagen verursacht, per Substitution verlagern könnte.)
08.02.2012, 21:00	keks89	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz von Integral Okay, jetzt hat es Klick gemacht! =) Dass g einen kompakten Träger hat heißt, dass es ein Intervall gibt [a,b] = Träger auf dem g(x) != 0 ist und außerhalb dieses Intervalls ist g(x) = 0. Daraus folgt, dass auch f(x) g(x) außerhalb gleich 0 ist und folglich hat auch f(x) g(x) einen kompakten Träger. Und daraus folgt dann, dass ich die Integralgrenzen in a und b umschreiben kann, weshalb das Integral existiert. Richtig?
08.02.2012, 21:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz von Integral g hat kompakten Träger bedeutet es gibt $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ s.d. $\begin{eqnarray} g(x) = 0 \forall x \notin [a,b] \end{eqnarray}$ . Du wirst Probleme haben ein Intervall zu finden, wo g(x) ungleich 0 ist, denn es könnte überall 0 sein, dann ein bisschen wie der Sinus aussehen, und dann wieder 0 sein - dann hat es aber auch Nullstellen in diesem Intervall. Und es stimmt: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x-y) dy = \int_a^b f(y) g(x-y) dy \end{eqnarray}$ für geeignete a,b. Nun ist aber nicht sofort klar, warum das Integral wirklich existiert. Beispiel: Sei $\begin{eqnarray} f: (0,1) \mapsto \mathbb{R}, f(x) = 1/x \end{eqnarray}$ . Dann ist f stetig, aber $\begin{eqnarray} \int_0^1 f(x) dx = \infty \end{eqnarray}$ .
08.02.2012, 21:16	keks89	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz von Integral Okay, und wie zeige ich den letzten Schritt auch noch? =/
08.02.2012, 21:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz von Integral Mein Beispiel nutzt fieserweise aus, dass man an der Notation des Integrals nicht sieht, dass man hier nicht über eine kompakte Menge integriert. Was hier zum tragen kommt ein Satz aus Analysis 1: Eine stetige Funktion auf einem Kompaktum nimmt ihr Maximum und Minimum an. Damit kann man das Integral nach oben abschätzen und ist endlich fertig.
08.02.2012, 21:42	keks89	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz von Integral Okay, dann sag ich mal brav danke! =) Nur noch eine Frage: Warum ist die Menge in deinem Beispiel nicht kompakt? ^^
08.02.2012, 21:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz von Integral Und (0,1) ist nicht kompakt, da es beschränkt, aber nicht abgeschlossen ist (Die Folge a_n = 1/n ist konvergent in [0,1], aber der Grenzwert ist nicht in (0,1). ) Mein f ist nur auf (0,1) stetig - man kann es ohne Probleme auf (0,1] stetig fortsetzen, aber nicht auf [0,1].
08.02.2012, 21:50	keks89	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz von Integral Ach ja, da war was in Ana2... ^^ Okay, vielen vielen Dank! =)

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