x^2 = 1

07.02.2012, 09:25	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
x^2 = 1 Guten Morgen, es geht um die folgende Aufgabe: Sei K ein Körper und $\begin{eqnarray} x \in K \end{eqnarray}$ . Zeige: $\begin{eqnarray} x^{2} = 1 \Leftrightarrow x \in \left\{-1,1\right\} \end{eqnarray}$ . Nun wenn ich das ganze umstelle ergibt sich: $\begin{eqnarray} x^{2} -1 = 0 \end{eqnarray}$ und da K ein Körper ist gibt es maximal zwei Nullstellen. Aber ich vermute das wir damals das noch nicht benutzen durften, deshalb möchte ich es auf anderem Wege lösen. " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ ": $\begin{eqnarray} x^{2} = 1 \Leftrightarrow xx = 1 \Leftrightarrow xx = xx^{-1} \Rightarrow x = x^{-1} \end{eqnarray}$ . Nun ist die Aufgabe im Prinzip.... bestimme alle selbstinversen Elemente von $\begin{eqnarray} K \setminus \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ . Nun wie mache ich das? Wie kann ich zeigen das es keine weiteren gibt? Schönen Gruß, DerJoker
07.02.2012, 09:33	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: x^2 = 1 Das Polynom $\begin{eqnarray} x^2-1 \end{eqnarray}$ hat maximal zwei Nullstellen in einem Körper. Nun ist eine Nullstelle immer die 1 (sollte klar sein). Durch die Identität $\begin{eqnarray} x^n-1=(x-1) \cdot (x^{n-1}+x^{n-2}+....+x^0) \end{eqnarray}$ kann man schnell die andere Nullstelle herausfinden, also $\begin{eqnarray} x^2-1=(x-1) \cdot (x+1) \end{eqnarray}$ führt schnell auf die Behauptung. (Analog dazu 2. Binomische Formel)
07.02.2012, 09:43	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Igrizu, zu der Zeit hatten wir aber noch keine Polynome so wirklich. Was wir hatten waren die Körperaxiome, deren Rechenregeln und den Binomischen Lehrsatz. Darf ich denn dann überhaupt aus $\begin{eqnarray} x^{2} -1 = (x+1)(x-1) = 0 \end{eqnarray*}$ folgern das nur 1 und -1 Lösungen sind? Schönen Gruß, DerJoker
07.02.2012, 09:47	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso solltest du das nicht dürfen?
07.02.2012, 09:51	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil manche Dinge die für mich "klar" sind/waren nicht immer für meine Übungsleiter damals "klar" waren . Deshalb frage ich. Aber wenn das so in Ordnung ist hat sich das damit erledigt. Danke
07.02.2012, 16:04	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
In einem Körper existieren keine Nullteiler, also gibt es kein Produkt $\begin{eqnarray} a \cdot b=0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b \neq 0 \end{eqnarray}$ , deshalb ist in jedem Körper der Satz vom Nullprodukt anwendbar, sprich wird das Produkt 0, so ist bereits einer der Faktoren 0.
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07.02.2012, 19:48	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
..was sich direkt mit den Körperaxiomen beweisen lässt, indem man für a,b nicht Null mit deren Inversen multipliziert, um einen Widerspruch zu erhalten.

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