Potenz einer komplexen Zahl

07.02.2012, 12:06

sirius7

Potenz einer komplexen Zahl

Hallo, kann mir bitte einer sagen, ob das so richtig ist? ich kann sonst niemanden fragen (((

$\begin{eqnarray*} z^2=-1+j z=(-1+j)^\frac{1}{2} z=\sqrt{2} e^j \frac{135}{2} 2. z=(1+j)^ 10 z=\sqrt{2} e^(j 45)*10 =\sqrt{2} e^j 450 \end{eqnarray*}$

07.02.2012, 13:00

lgrizu

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RE: potenz einer komlexer Zahl
Ich kann nur schwer nachvollziehen, was du gemacht hast.

Üblicherweise stellt man die Zahl in der Exponentialdarstellung dar, mach das einmal.

07.02.2012, 13:28

ollie3

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RE: potenz einer komlexer Zahl
hallo sirius,
ja, du hast bei deiner rechnung mehrere sachen falsch gemacht. Zum Beispiel
muss bei der ersten aufgabe der vorfaktor nicht wurzel aus 2, sondern 4.
wurzel aus 2 lauten, und bei der 2. aufgabe muss dann der vorfaktor
entsprechend 2^5=32 sein.
Am besten du liest dir das bei wikipedia nochmal durch, wie man komplexe
zahlen potenziert und radiziert.
gruss ollie3

07.02.2012, 16:00

lgrizu

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RE: potenz einer komlexer Zahl
...Dann ist aber immer noch unklar, wo solch riesige Zahlen herkommen, 450 zum Beipiel, obwohl doch jeder Winkel maximal $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ groß ist.......

...Und was im Exponenten von e steht ist auch nicht ersichtlich....

08.02.2012, 11:04

sirius7

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RE: potenz einer komlexer Zahl

Zitat:

Original von lgrizu
Ich kann nur schwer nachvollziehen, was du gemacht hast.

Üblicherweise stellt man die Zahl in der Exponentialdarstellung dar, mach das einmal.

Hallo, sorry, haben uns gestern mit der Klasse vorbereitet, daher die verspätete Antwort

wenn ich 1+j in expotentialdarstellung mache, kommt 1,4e^j45° dann ist dieser ganze Ausdruck hoch 10 genommen also (1,4e^j45°)^10 1,4^10 ist klar 28, aber was dann mit dem Winkel? Gruss

08.02.2012, 11:13

lgrizu

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RE: potenz einer komlexer Zahl
Zunächst geben wir Winkel stets im Bogenmaß an, also der Winkel 45° entspricht dann dem Winkel $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ .

Das ist so üblich.

Warum potenzierst du das ganze mit 10?

Es ist richtig: $\begin{eqnarray*} -1+i=\sqrt{2} \cdot \exp \left(\frac{3 \pi}{4} i \right) \end{eqnarray*}$ .

Nun die Wurzel ziehen, es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|} \cdot \exp\left( \frac{\phi i+2k \pi}{n} \right) \end{eqnarray*}$ mit k=0,...,n-1

In deinem Fall ist das Argument $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{3 \pi}{4} \end{eqnarray*}$ .

08.02.2012, 11:35

sirius7

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RE: potenz einer komlexer Zahl
sorry die letzte Formel kann überhaupt nicht nachvollziehen(((( kann ich z.b. davon ausgehen, dass bei jeder Potenz die Winkel um 45° verschoben werden, und so 10 mal? traurig

ich meine bei Multiplikation werden die Winkel addiert? diese Formel sagt mir leider gar nichts, was dieses k bedeutet, weiss ich auch nicht (((

08.02.2012, 11:39

lgrizu

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RE: potenz einer komlexer Zahl
Das sollte aber eigentlich bekannt sein wenn man Wurzeln aus komplexen Zahlen berechnet.

In deinem Fall ist n=2 und k geht von k=0 bis k=n-1, also in deinem Fall musst du für k einmal 0 und einmal 1 einsetzen.

Wieso denn 10 mal verschoben? Ich verstehe wirklich nicht, wie du auf diese 10 kommst......

08.02.2012, 11:39

sirius7

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RE: potenz einer komlexer Zahl
also mit diesem Latex ist da oben bei der aufgabestellung was schiff gelaufen wie ich merke, also die 2-te aufgabestellung ist z=(1+j)^10

08.02.2012, 11:47

lgrizu

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RE: potenz einer komlexer Zahl
Ich bin noch bei der ersten Augfgabe....

Also noch mal:

Dein Argument ist $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{3}{4} \pi \end{eqnarray*}$ , es ist also $\begin{eqnarray*} -1+i=\sqrt{2} \exp\left(\frac{3}{4} \pi i \right) \end{eqnarray*}$ .

Nun Potenzgesetze anwenden:

$\begin{eqnarray*} (-1+i)^{\frac{1}{2}}=\left(\sqrt{2} \exp\left(\frac{3}{4} \pi i \right) \right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt[4]{2} \cdot \left(\exp\left(\frac{3}{4} \pi i \right) \right)^{\frac{1}{2}} =\exp\left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \pi i \right) \end{eqnarray*}$

Das wäre dann das Ergebnis für k=0, Sinus und Kosinus sind aber 2pi Periodisch......

08.02.2012, 11:58

sirius7

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RE: potenz einer komlexer Zahl
aso, so verstehe ich das schon besser.. vielen dank) werd mich dann wohl noch mit ^10 auseinanderstzten.. danke nochmals))

09.02.2012, 09:04

lgrizu

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RE: potenz einer komlexer Zahl
Wie schaut denn die Lösung der anderen Aufgabe aus?

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Potenz einer komplexen Zahl

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