cos bei unendlich

07.02.2012, 12:10	Brasserie	Auf diesen Beitrag antworten »
cos bei unendlich Meine Frage: Untersuchen sie die funktion auf stetigkeit bzw auf stetige ergänzbarkeit - wo? und ob polstelle etc. h(x)= $\begin{eqnarray} \cos(\frac{1}{x-\pi } ) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: wir wissen das der Definitions bereich D= $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \ \end{eqnarray}$ \ pi lautet. also ist irgendwas bei pi. wir dachten wir berechnen jetzt einfach mal den grenzwert an dieser stelle um zu gucken ob es sich um eine polstelle handelt. folgendes problem was ist aber dann cos(unendlich) bzw cos(-unendlich)??? wie verhält sich der cos im unendlichen? ist die vorgehensweise überhaupt korrekt? danke
07.02.2012, 12:25	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Schaut euvch mal den Wertebereich von \cos(\phi) an. Gibt es wirklich eine Polstelle bei der Funktion $\begin{eqnarray} h(x) = \cos\left(\frac1{x-\pi}\right) \end{eqnarray}$ ?
07.02.2012, 12:38	Brasserie	Auf diesen Beitrag antworten »
also ja ne weil die funktion ist ja grundsätzlich erstmal stetig. also kann sie ja eigtl nur ne lücke haben oder? also an der stelle pi dann oder wie?
07.02.2012, 12:57	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ihr Argument hat bei x=\pi eine Polstelle. Die Argumentenfunktion hat dort also eine Lücke. Insgesamt hat h(x) also die Definitionsmenge $\begin{eqnarray} \mathbb D=\mathbb R\backslash\{\pi\} \end{eqnarray}$ h(x) ist im Punkt $\begin{eqnarray} x=\pi \end{eqnarray}$ nicht stetig. Jetzt müsst ihr euch noch überlegen, ob die Lücke behebbar ist, h(x) also stetig fortgesetzt werden kann.
07.02.2012, 13:01	Brasserie	Auf diesen Beitrag antworten »
und genau das ist unser problem. wie kann man es ergänzen bzw woran erkennt man das dann?
07.02.2012, 13:07	Brasserie	Auf diesen Beitrag antworten »
also um die ergänzbarkeit zu überprüfen nähern wir uns von links und von rechts an diese stelle bei x=pi an und erhalten wir dann einmal cos(unendlich) und einmal cos( -unendlich). weil cos im unendlichen keinen genauen wert hat aber da wir uns überlegt haben müssen beide den gleichen y-wert haben oder? das heißt doch das sie dann stetig ergänzbar ist odr?
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07.02.2012, 14:18	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das heißt es nicht. Ihr müsst überprüfen, ob es ein $\begin{eqnarray} k\in\mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|k\|<\infty \end{eqnarray}$ gibt, so dass gilt $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\pi}\frac1{x-\pi}=k \end{eqnarray}$ . Sprich, der Quotient an der Stelle gegen konvergiert. Konvergiert er, ist h(x) stetig fortsetzbar, konvergiert er nicht, dann nicht.

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