Jede Matrix A e (2,R) mit det<0 ist diagonalisierbar? |
| 07.02.2012, 13:08 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Jede Matrix A e (2,R) mit det<0 ist diagonalisierbar? Hallo erstmal^^ Ich muss in Lina bis morgen diese Aufgabe machen und habe leider gar keine Ahnung;-( Jede Matrix A Mat(2,R) mit det<0 ist (über R) diagonalisierbar! Danke schonmal für die Hilfe!^^ Meine Ideen: ich weiß, dass die Determinante <0 ist, wenn ad-bc<0 ist => ad<0 oder /cb/> ad lieg ich damit schonmal i-wie richtig? |
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| 07.02.2012, 13:17 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Betrachte das char. Polynom und gib eine Faktorisierung an. |
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| 07.02.2012, 13:33 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
naja beim charak polynom hab ich ja dann /xE-A/ = / (x-a) (x-d)-bc/ = / x*2 -ax-dx+ad-bc/ =x*2 - (a-d)x +/ad-bc/ |
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| 07.02.2012, 13:34 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aber was ist dann mit der Faktosrsierung? |
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| 07.02.2012, 13:36 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
sry Faktorisierung^^ |
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| 07.02.2012, 13:44 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wenn ich dann mit der Lösungsformel dran gehe bekomm ich ja dann: x= 0,5 ( (a+d) +- wuzel von (a-d)*2 +4bc) |
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| 07.02.2012, 16:16 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
bin ich wenigstens auf der richtigen spur? hilfe! 
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| 07.02.2012, 16:25 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Lösungsformel an was dran gehen?
Was sollen hier die "/" sein ? P.S. es gibt hier eine Edit-Funktion mit der du die ersten 15 Min. deine Beiträge bearbeiten kannst. |
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| 07.02.2012, 16:29 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja das mit der edit funktion wusste ich noch nicht aber danke! / sollen eig betragsstriche sein. bin mir aber nicht sicher, ob die überhupt nötig sind. und mit der lösungsformel wollte ich die nullstellen des charak. polynoms berechnen. |
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| 07.02.2012, 16:39 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann ist es falsch. Du willst das charakteristische Polynom von A berechnen also det(xE-A) was manche auch als |xE-A| schreiben. Rechne das mal sauber aus. Am Besten formulierst du die Lösung so, dass det(A) vorkommt.
und bei dem hier bist du massiv mit den Variablen durcheinander gekommen. |
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| 07.02.2012, 17:08 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hm schade.. ok habs nachmal gerechnet und bekomm dann beim charak. Poly. raus: x*2-x(a+d)+ad-bc wobei ad-bc die Detrminante ist und mit der Lösungsformel bekomm ich dann 0,5((a+d)+- Wurzel (a+d)*2-4(ad-bc)) Frage: kann es zufällig sein, dass a+d=spa(A) weil dann hätte ich dann x*2-xspan(A)+det(A) =charak.Polynom oder bin ich da aufm Holzweg? |
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| 07.02.2012, 17:18 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Damit bin ich einverstanden. Jetzt musst du nur noch schauen wann Lösungen in den reellen Zahlen existieren. (Warum ist es überhaupt sinnvoll dies zu betrachten? )
Das ist nicht zufällig, eher vollkommen absichtlich.(wobei ich das allerdings das spa als Spur einer Matrix kenne) Es gilt allgemein: Ist so ist det(XE-A)= X^n -Spur(A)X^{n-1} + \ldots +(-1)^{n} det(A) |
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| 07.02.2012, 17:30 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ah ok cool danke! ich hab jetzt noch mit der Lösungsformel weiter gemacht aber leider häng ich jetzt wieder bei: x=0,5((a+d)+-Wurzel (a-d)*2+4bc) 
muss ich dass mit der Spur bei der Aufgabe dann auch expliziet erwähnen? |
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| 07.02.2012, 17:42 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das mit der Spur ist nicht unbedingt nötig für die Aufgabe. Was bezweckt du mit den Umformungen in der Lösungsformel. Ich wiederhole nochmal meine Frage von vorher:
Wann hat denn eine quadratische Gleichung reelle Lösungen? |
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| 07.02.2012, 17:52 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
naja wenn man annimmt dass die diskriminante b*2-4ac<0 ist dann gibt es eigentlich keine reellen Lösungen, man muss dann mit den komplexen zahlen weiter machen. oder? aber ich dachte die matrix muss diagonalisierbar über R sein, oder hat des damit gar nix zu tun? |
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| 07.02.2012, 17:54 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was willst du hier eigentlich zeigen? Was hat das mit den Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu tun? |
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| 07.02.2012, 18:45 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sry ich steh glaub ich gerade total aufm Schlauch.... oder war mit deiner frage gemeint dass es unetr der Wurzel nicht negativ sein darf?? aber des is ja klar. |
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| 07.02.2012, 18:54 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Antwort:
Und dann:
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| 07.02.2012, 18:56 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja des frag ich mich auch!^^ |
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| 07.02.2012, 18:59 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann geh jetzt an dein Skript und schau die Kriterien nach, wann eine Matrix invertierbar ist. |
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| 07.02.2012, 19:05 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja ich weiß, dass die Determinante von A nicht Null sein darf, und das es eine Inverse Matrix geben muss usw.. Ok und bei der Frage is ja geben, dass die det(A)<0 ist und damit ungleich 0 und dann ist die Matrix also invertierbar. |
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| 07.02.2012, 19:07 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry ich meinte nicht invertierbar, sondern natürlich diagonalisierbar. (Die Aufgabe handelt ja von Letzterem nicht Ersterem.) |
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| 07.02.2012, 19:14 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn es n (indem fall also 2) linear unabhängige Eigenvektoren hat. Also muss hier R*2 eine Basis aus Eigenvektoren haben. Dann gibt es den Satz: Zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren und ist zu jedem Eigenwert die arithmetische gleich der geometrischen Vielfachheit, dann ist die Matrix diagonalisierbar. letzteres kapier ich aber net wirklich (denk aber dass es viel mit der lösung zu tun hat) |
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| 07.02.2012, 19:23 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau diesen letzten Satz wollen wir hier ausnutzen. Dazu müssen wir zeigen das, dass charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, und zwar um genau zu sein in den rellen Zahlen. Mit der geometrischen Vielfachheit beschäftigen wir uns danach. |
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| 07.02.2012, 19:28 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
habe ich das nicht schon gemacht indem ich die Lösungsformel nach dem charak.Polynom gemacht habe? oder was muss ich da machn? |
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| 07.02.2012, 19:31 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du sollst zeigen, dass in diesem Fall das charakterisctische Polynom zwei reelle Nullstellen hat. |
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| 07.02.2012, 19:33 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
naja die wären ja dann: 0,5((a+d)+Wurzel(a-d)*2 +4bc und 0,5((a+d)- Wurzel (a-d)*2+4bc aber wie zeige ich, dass die reel sind? |
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| 07.02.2012, 19:37 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wann ist denn reell? Mal ganz abgesehen davon: Wie kommst du auf dieses zeug unter der Wurzel? |
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| 07.02.2012, 19:41 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ch hab des zeug von vorher umgeformt. passt des wohl net? vorher stand ja da Wurzel (a+d)*2-4(ad-bc) und dann hab ich des binom ausgerechnet usw. aso ist des net reel, wenn die diskriminante gleich 0 ist? |
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| 07.02.2012, 19:47 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Natürlich passt das unter der Wurzel nicht. Wo ist denn das Quadrat hin?
Dies ist grob falsch und kein deutsch. |
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| 07.02.2012, 19:50 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wollte sagen es ist reell, wenn die Diskriminante gleich Null ist. Oder sehe ich das etwa falsch? |
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| 07.02.2012, 19:51 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn die Diskriminante Null ist gibt es eine Lösung. |
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| 07.02.2012, 19:56 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok dann noch größer Null, weil wenn <0 dann ist es nicht mehr reell. => für =0 gilt dann x=0,5a+0,5d |
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| 07.02.2012, 20:02 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also müssen wir zeigen, dass die Diskriminante positiv ist. Das geht am besten, wenn wir die Darstellung des charakteristischen Polynoms verwenden. |
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| 07.02.2012, 20:08 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also die mit X*2 -X8a+d)+ad-bc und wie zeige ich dann das Dis. positiv ist? |
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| 07.02.2012, 20:10 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
mit der Voraussetzung. |
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| 07.02.2012, 20:13 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
etwa indem ich sag: Spur(A)*2-4det(A)>0 also Spur(A)*2>4det(A) ?? (sieht aber komisch aus denk ich) |
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| 07.02.2012, 20:19 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was wissen wir nach Voraussetzung über det(A)? Und die Diskriminante ist |
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| 07.02.2012, 20:22 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aso ja klar det(A)<0 und dann folgt ja automatisch, dass die Diskriminante >0 ist |
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| 07.02.2012, 20:29 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also damit haben wir gezeigt, dass das char. Polynom zwei reelle Nullstellen. Hat was ist also deren algebraische Vielfachheit? Und was ist geometrische Vielfachheit? |
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