Jede Matrix A e (2,R) mit det<0 ist diagonalisierbar?

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picadomi Auf diesen Beitrag antworten »
Jede Matrix A e (2,R) mit det<0 ist diagonalisierbar?
Meine Frage:
Hallo erstmal^^

Ich muss in Lina bis morgen diese Aufgabe machen und habe leider gar keine Ahnung;-(


Jede Matrix A Mat(2,R) mit det<0 ist (über R) diagonalisierbar!

Danke schonmal für die Hilfe!^^

Meine Ideen:
ich weiß, dass die Determinante <0 ist, wenn ad-bc<0 ist => ad<0
oder /cb/> ad
lieg ich damit schonmal i-wie richtig?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte das char. Polynom und gib eine Faktorisierung an.
 
 
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

naja beim charak polynom hab ich ja dann

/xE-A/ = / (x-a) (x-d)-bc/ = / x*2 -ax-dx+ad-bc/ =x*2 - (a-d)x +/ad-bc/
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich aber was ist dann mit der Faktosrsierung?
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

sry Faktorisierung^^
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich dann mit der Lösungsformel dran gehe bekomm ich ja dann:

x= 0,5 ( (a+d) +- wuzel von (a-d)*2 +4bc)
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

bin ich wenigstens auf der richtigen spur?

hilfe! Hammer
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wenn ich dann mit der Lösungsformel dran gehe bekomm ich ja dann: x= 0,5 ( (a+d) +- wuzel von (a-d)*2 +4bc)

Lösungsformel an was dran gehen?

Zitat:
/xE-A/ = / (x-a) (x-d)-bc/ = / x*2 -ax-dx+ad-bc/ =x*2 - (a-d)x +/ad-bc/

Was sollen hier die "/" sein ?

P.S. es gibt hier eine Edit-Funktion mit der du die ersten 15 Min. deine Beiträge bearbeiten kannst.
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

ja das mit der edit funktion wusste ich noch nicht aber danke!

/ sollen eig betragsstriche sein. bin mir aber nicht sicher, ob die überhupt nötig sind.

und mit der lösungsformel wollte ich die nullstellen des charak. polynoms berechnen.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
/ sollen eig betragsstriche sein. bin mir aber nicht sicher, ob die überhupt nötig sind.

Dann ist es falsch.
Du willst das charakteristische Polynom von A berechnen also det(xE-A) was manche auch als |xE-A| schreiben. Rechne das mal sauber aus. Am Besten formulierst du die Lösung so, dass det(A) vorkommt.

Zitat:
x= 0,5 ( (a+d) +- wuzel von (a-d)*2 +4bc)

und bei dem hier bist du massiv mit den Variablen durcheinander gekommen.
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

hm schade..

ok habs nachmal gerechnet und bekomm dann beim charak. Poly. raus:

x*2-x(a+d)+ad-bc wobei ad-bc die Detrminante ist


und mit der Lösungsformel bekomm ich dann 0,5((a+d)+- Wurzel (a+d)*2-4(ad-bc))

Frage: kann es zufällig sein, dass a+d=spa(A) weil dann hätte ich dann

x*2-xspan(A)+det(A) =charak.Polynom oder bin ich da aufm Holzweg?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und mit der Lösungsformel bekomm ich dann 0,5((a+d)+- Wurzel (a+d)*2-4(ad-bc))

Damit bin ich einverstanden. Jetzt musst du nur noch schauen wann Lösungen in den reellen Zahlen existieren. (Warum ist es überhaupt sinnvoll dies zu betrachten? )

Zitat:
Frage: kann es zufällig sein, dass a+d=spa(A) weil dann hätte ich dann x*2-xspan(A)+det(A) =charak.Polynom oder bin ich da aufm Holzweg?

Das ist nicht zufällig, eher vollkommen absichtlich.(wobei ich das allerdings das spa als Spur einer Matrix kenne) Es gilt allgemein: Ist so ist det(XE-A)= X^n -Spur(A)X^{n-1} + \ldots +(-1)^{n} det(A)
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok cool danke!

ich hab jetzt noch mit der Lösungsformel weiter gemacht aber leider häng ich jetzt wieder bei:

x=0,5((a+d)+-Wurzel (a-d)*2+4bc) verwirrt


muss ich dass mit der Spur bei der Aufgabe dann auch expliziet erwähnen?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Spur ist nicht unbedingt nötig für die Aufgabe.
Was bezweckt du mit den Umformungen in der Lösungsformel. Ich wiederhole nochmal meine Frage von vorher:
Zitat:
Jetzt musst du nur noch schauen wann Lösungen in den reellen Zahlen existieren. (Warum ist es überhaupt sinnvoll dies zu betrachten? )

Wann hat denn eine quadratische Gleichung reelle Lösungen?
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

naja wenn man annimmt dass die diskriminante b*2-4ac<0 ist dann gibt es eigentlich keine reellen Lösungen, man muss dann mit den komplexen zahlen weiter machen. oder?

aber ich dachte die matrix muss diagonalisierbar über R sein, oder hat des damit gar nix zu tun?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du hier eigentlich zeigen?
Was hat das mit den Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu tun?
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

Sry ich steh glaub ich gerade total aufm Schlauch....

oder war mit deiner frage gemeint dass es unetr der Wurzel nicht negativ sein darf?? aber des is ja klar.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was willst du hier eigentlich zeigen?

Antwort:
Zitat:
Jede Matrix A Mat(2,R) mit det<0 ist (über R) diagonalisierbar!

Und dann:
Zitat:
Was hat das mit den Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu tun?
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

ja des frag ich mich auch!^^
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Dann geh jetzt an dein Skript und schau die Kriterien nach, wann eine Matrix invertierbar ist.
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich weiß, dass die Determinante von A nicht Null sein darf, und das es eine Inverse Matrix geben muss usw..

Ok und bei der Frage is ja geben, dass die det(A)<0 ist und damit ungleich 0 und dann ist die Matrix also invertierbar.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry ich meinte nicht invertierbar, sondern natürlich diagonalisierbar. (Die Aufgabe handelt ja von Letzterem nicht Ersterem.)
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

ok eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn es n (indem fall also 2) linear unabhängige Eigenvektoren hat. Also muss hier R*2 eine Basis aus Eigenvektoren haben.

Dann gibt es den Satz:
Zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren und ist zu jedem Eigenwert die arithmetische gleich der geometrischen Vielfachheit, dann ist die Matrix diagonalisierbar.

letzteres kapier ich aber net wirklich (denk aber dass es viel mit der lösung zu tun hat)
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Genau diesen letzten Satz wollen wir hier ausnutzen. Dazu müssen wir zeigen das, dass charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, und zwar um genau zu sein in den rellen Zahlen. Mit der geometrischen Vielfachheit beschäftigen wir uns danach.
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

habe ich das nicht schon gemacht indem ich die Lösungsformel nach dem charak.Polynom gemacht habe? oder was muss ich da machn?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst zeigen, dass in diesem Fall das charakterisctische Polynom zwei reelle Nullstellen hat.
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

naja die wären ja dann:

0,5((a+d)+Wurzel(a-d)*2 +4bc

und

0,5((a+d)- Wurzel (a-d)*2+4bc

aber wie zeige ich, dass die reel sind?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Wann ist denn reell?
Mal ganz abgesehen davon: Wie kommst du auf dieses zeug unter der Wurzel?
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

ch hab des zeug von vorher umgeformt. passt des wohl net?

vorher stand ja da Wurzel (a+d)*2-4(ad-bc) und dann hab ich des binom ausgerechnet usw.

aso ist des net reel, wenn die diskriminante gleich 0 ist?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich passt das unter der Wurzel nicht. Wo ist denn das Quadrat hin?

Zitat:
aso ist des net reel, wenn die diskriminante gleich 0 ist?

Dies ist grob falsch und kein deutsch.
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

wollte sagen es ist reell, wenn die Diskriminante gleich Null ist. Oder sehe ich das etwa falsch?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Diskriminante Null ist gibt es eine Lösung.
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

ok dann noch größer Null, weil wenn <0 dann ist es nicht mehr reell.

=> für =0 gilt dann x=0,5a+0,5d
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Also müssen wir zeigen, dass die Diskriminante positiv ist.
Das geht am besten, wenn wir die Darstellung des charakteristischen Polynoms verwenden.
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

also die mit X*2 -X8a+d)+ad-bc

und wie zeige ich dann das Dis. positiv ist?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

mit der Voraussetzung.
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

etwa indem ich sag: Spur(A)*2-4det(A)>0

also Spur(A)*2>4det(A) ??


(sieht aber komisch aus denk ich)
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Was wissen wir nach Voraussetzung über det(A)?
Und die Diskriminante ist
picadomi Auf diesen Beitrag antworten »

aso ja klar det(A)<0

und dann folgt ja automatisch, dass die Diskriminante >0 ist
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Also damit haben wir gezeigt, dass das char. Polynom zwei reelle Nullstellen. Hat was ist also deren algebraische Vielfachheit? Und was ist geometrische Vielfachheit?
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