Grenzwert der Folge a_n=sqrt(n^2 +n)-n

07.02.2012, 13:37	Cosinuspihalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert der Folge a_n=sqrt(n^2 +n)-n hiho zusammen, ich habe schwierigkeiten zu sehen, warum $\begin{eqnarray} \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt{n^2+n} -n = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Ich hab bisher die folgende Umformung vorgenommen: $\begin{eqnarray} \sqrt{n^2+n} -n = \sqrt{n^2 \cdot (1+\frac{1}{n})} -n = n \cdot \sqrt{1+\frac{1}{n}} -n = n \cdot (\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1) \end{eqnarray}$ betrachte ich nun aber $\begin{eqnarray} \lim \limits_{n \to \infty} n \cdot (\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1) \end{eqnarray}$ an, dann komme ich mit folgenden überlegungen $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ geht gegen 0, also geht $\begin{eqnarray} \sqrt{1+ \frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ gegen 1 und somit $\begin{eqnarray} \sqrt{1+ \frac{1}{n}} -1 \end{eqnarray}$ gegen 0 und daher komme ich zu: $\begin{eqnarray} \lim \limits_{n \to \infty} n \cdot (\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1)=0 \end{eqnarray}$ berechnungen mit excel und plotten zeigt aber klar, dass der grenzwert 0,5 ist. wo liegt mein fehler? gruß
07.02.2012, 13:55	Cosinuspihalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert der Folge a_n=sqrt(n^2 +n)-n hmm, zweite überlegung: $\begin{eqnarray} n \cdot (\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1) = n \cdot ((1+\frac{1}{n})^{\frac{1}{2}} -1) \overset{Bernoulli-Ungleichung}{\geq} n \cdot ((1+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n}) -1)=n \cdot ((\frac{2n}{2n}+\frac{1}{2n}) -\frac{2n}{2n})=n \cdot (\frac{1}{2n})=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \lim \limits_{n \to \infty} n \cdot (\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1) = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ mit der bernoulli ungleichung. ist das korrekt so? und falls ja, warum passt es dann mit dem grenzwert? schließlich ist bernoulli nur eine abschätzung... edit: tippfehler
07.02.2012, 14:10	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert der Folge a_n=sqrt(n^2 +n)-n Die Bernoulli-Ungleichung in der Form gilt zunächst mal nur für natürliche Exponenten k. Du hast aber 1/2 im Exponenten. Deswegen stimmt das gar nicht, was du da geschrieben hast. Man kann's zwar auch auf reelle Exponenten ausweiten, aber dann dreht sich die Ungleichung (für 0<k<1) um: Siehe hier. Und damit ist ja nichts gewonnen, das würde nur zeigen, dass jedes Folgenglied kleiner als 1/2 ist. Damit ist vielleicht Beschränktheit gezeigt, Konvergenz aber noch lange nicht. Da müsstest du zusätzlich noch nachweisen, dass die Folge monoton steigt. Alternative: Betrachte mal $\begin{eqnarray} a_n = \frac{\sqrt{n^2+n}-n}{1} \end{eqnarray}$ und erweitere so, dass du im Zähler die dritte binomische Formel anwenden kannst.
07.02.2012, 15:26	Cosinuspihalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert der Folge a_n=sqrt(n^2 +n)-n jaaa traumhaft... $\begin{eqnarray} \sqrt{n^2+n}-n=\frac{(\sqrt{n^2+n}-n) \cdot (\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{n \cdot (\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim \limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ danke Mulder, das war genau der richtige schubser

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