Bijektive Abbildung / Umkehrabbildung

07.02.2012, 14:13

an-drej

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Bijektive Abbildung / Umkehrabbildung

Meine Frage:
Hallo alle zusammen..
bin neu hier und hoffe erst mal die Frage am richtigen Fleck platziert zu haben, falls nicht dann entschuldigt mich.

Zunächst mal ist mir folgendes gegeben:
M={1,4,7,10,...} und N={10,14,18,22,...}

Nun soll eine bijektive Abbildung von f: M -> N und deren Umkehrabbildung angegeben werden.

Wie geht man dabei nun vor?

Vielen Dank schon mal

Meine Ideen:
was ich weiß ist, dass f genau dann bijektiv ist, wenn die Gleichung f(x) =y für jedes y Element von N genau eine Lösung hat.
Jedoch komme ich im Moment einfach nicht weiter -.-

07.02.2012, 14:33

Mazze

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Zitat:

was ich weiß ist, dass f genau dann bijektiv ist, wenn die Gleichung f(x) =y für jedes y Element von N genau eine Lösung hat.

Dafür kennst Du sicherlich noch andere Formulierungen. Aber DU musst ja erstmal eine Zuordnung finden von der Du die Bijektivität überprüfen kannst. Überlege möglichst einfach. Du willst jedem Element aus M genau ein Element aus N zuordnen, wie könnte man das wohl?

07.02.2012, 14:53

an-drej

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Ich finde keine mögliche Zuordnung, sodass jede Zahl zugeordnet werden könnte.
Ich stehe momentan ziemlich auf dem Schlauch verwirrt

verwirrt

07.02.2012, 14:56

Mazze

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Zitat:

Ich finde keine mögliche Zuordnung, sodass jede Zahl zugeordnet werden könnte.

Hast Du es denn schon mal versucht? Die Zuordnung die ich im Kopf hab ist so leicht dass Du dich ärgern wirst wenn ichs Dir sage.

Nehmen wir die 1, welche Zahl aus N würdest Du der 1 zurodnen ?

07.02.2012, 15:00

an-drej

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ich würde die 10 nehmen, also +9
bei 4 die 14, also +10
bei 7 die 18, also plus 11
und so weiter...

aber das ist es doch nicht oder?

07.02.2012, 15:02

Mazze

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Zitat:

aber das ist es doch nicht oder?

Wieso nicht, ist diese zuordnung injektiv?

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07.02.2012, 15:08

an-drej

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ja das ist sie Big Laugh

Big Laugh

Würde die bijektive Abbildung dann so aussehen:

M N
1 -> 10
4 -> 14
7 -> 18
.
.
.

und die Umkehrabbildung so:

M N
1 <-> 10
4 <-> 14
7 <-> 18
.
.
.

oder mach ich da wieder was falsch?

07.02.2012, 15:15

Mazze

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Also,

zunächst ist deine Idee eine richtige. Allerdings solltest Du, bevor Du den Beweis angehst dass diese Zuordnung bijektiv ist, diese Zuordnung ordentlich formal beschreiben. Sprich, du sollst eine Funktion

$\begin{eqnarray*} f : M \to N \end{eqnarray*}$

aufstellen, die genau deine Zuordnung beschreibt. Dann kannst Du die Bijektivität ordentlich zeigen und Du kannst die Umkehrabbildung besser formulieren.

07.02.2012, 15:36

an-drej

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Das ist mein Problem..
ich weiß nicht wie ich solche eine Funktion aufstellen soll.
Für 1 wäre das:
$\begin{eqnarray*} f(x1)=x1 + 9 \end{eqnarray*}$
für 4:
$\begin{eqnarray*} f(x2)=x2 + 10 \end{eqnarray*}$

wie komm ich auf eine Funktion, die dann genau diese zuordnung beschreibt.

Das Thema macht mich verrückt.
Modulo, Matrizen, Vektoren sind kein Problem aber dieses bereitet mir Kopfzerbrechen verwirrt

verwirrt

07.02.2012, 15:49

Mazze

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Naja,

als erstes schaut man sich die Menge M an, wir ordnen die Elemente und setzen

$\begin{eqnarray*} m_1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_2 = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_3 = 7 \end{eqnarray*}$

usw., was ist dann

$\begin{eqnarray*} m_k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ?

Damit haben wir

$\begin{eqnarray*} \{1,4,7,\} = \bigcup_{k \in \mathbb{N}}\{m_k\} \end{eqnarray*}$

Wie könntest Du jetzt

$\begin{eqnarray*} f(m_k) \end{eqnarray*}$

definieren , damit Du genau deine Zuordnung hast?

07.02.2012, 16:03

an-drej

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Zitat:

Wie könntest Du jetzt
$\begin{eqnarray*} f(m_k) \end{eqnarray*}$
definieren , damit Du genau deine Zuordnung hast?

Ich weiß es nicht tut mir leid traurig

traurig

Jetzt bin ich mir nicht mal mehr sicher ob ich es mit der Lösung verstehen würde -.-

07.02.2012, 16:05

Mazze

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Schreib es doch einfach mal hin

$\begin{eqnarray*} f(m_1) = ? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(m_2) = ? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(m_3) = ? \end{eqnarray*}$

usw.

Der Vorteil hierbei ist, dass wir jetzt einen Index haben der 1,2,3,4, usw. durchläuft. Damit können wir die Elemente in N wesentlich besser parametrisieren.

07.02.2012, 16:10

an-drej

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ok..
$\begin{eqnarray*} f(m_1)= m_1 +9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(m_2)= m_2 +10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(m_3)= m_3 +11 \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt?

07.02.2012, 16:12

Mazze

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Zitat:

ok.. $\begin{eqnarray*} f(m_1)= m_1 +9 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(m_2)= m_2 +10 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(m_3)= m_3 +11 \end{eqnarray*}$ Ist das so korrekt?

Das ergibt keinen Sinn. Ich habe doch oben geschrieben :

$\begin{eqnarray*} m_1 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_2 = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_3 = 7 \end{eqnarray*}$

damit ist

$\begin{eqnarray*} f(m_3) = f(7) = 18 \end{eqnarray*}$

, so und jetzt nochmal.

07.02.2012, 16:19

an-drej

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ich dachte dass das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} f(m_3) \end{eqnarray*}$ ein N sein sollte.

was soll dann bei $\begin{eqnarray*} f(m_3) = f(7) \end{eqnarray*}$ als Ergebnis stehen?

muss da wieder 7 stehen?

also $\begin{eqnarray*} f(m_3) = f(7)=7 \end{eqnarray*}$

07.02.2012, 16:27

Mazze

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Ließt Du was ich schreibe ?

Wie kommst Du denn auf

Zitat:

also $\begin{eqnarray*} f(m_3) = f(7)=7 \end{eqnarray*}$

wenn ich schon

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(m_3) = f(7) = 18 \end{eqnarray*}$

geschrieben habe ?

Nochmal zum Mitmeisseln : Ich habe die Elemente in M indiziert, sprich, ich habe einen Bezeichner mit Index eingeführt um die Elemente aus M einfach zu beschreiben. Etwa hab ich dem Element 1 den Bezeichner $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ zugeordnet, dem Element 4 hab ich den Bezeichner $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ zugeordnet usw. Das ist keine Hexerei. Der Vorteil davon ist, dass ich die Elemente aus M nun sehr leicht beschreiben kann, etwa ist

$\begin{eqnarray*} m_{20} = 1 + 19*3 = 58 \end{eqnarray*}$

So, und jetzt hast Du dir ja schon die Zuordnung

1 -> 10
4 -> 14
7 -> 18

überlegt. Dafür können wir jetzt schreiben :

$\begin{eqnarray*} f(m_1) = 10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(m_2) = 14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(m_3) = 18 \end{eqnarray*}$

usw. bis hier hin hab ich noch überhaupt keine intelligente Arbeit geleistet. Ich hab nur den Spaß ordentlich formuliert. Deine Aufgabe ist es allgemein zu definieren was

$\begin{eqnarray*} f(m_k) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

genau sein soll. Dann hast Du alles um den Eigentlich beweis anzutreten.

07.02.2012, 16:41

an-drej

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Zitat:

So, und jetzt hast Du dir ja schon die Zuordnung

1 -> 10
4 -> 14
7 -> 18

überlegt. Dafür können wir jetzt schreiben :

$\begin{eqnarray*} f(m_1) = 10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(m_2) = 14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(m_3) = 18 \end{eqnarray*}$

okay das hab ich jetzt zumindest mal geblickt. Einfach konkret formulieren..
aber hier verstehe ichs nicht

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(m_k) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

wäre das die korrekte Formel?

$\begin{eqnarray*} f(m_k)= 1+ m_k-_1 * 3 \end{eqnarray*}$

07.02.2012, 16:45

Mazze

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Zitat:

wäre das die korrekte Formel? $\begin{eqnarray*} f(m_k)= 1+ m_k-_1 * 3 \end{eqnarray*}$

Naja, nicht ganz. Wenn Du eine Formel aufstellst, dann setze doch einfach mal ein und schau nach was rauskommt. Wenn ich etwa k = 3 in deiner Formel setze :

$\begin{eqnarray*} f(m_3) = 1 + m_{3 - 1} * 3 = 1 + 4*3 = 13 \end{eqnarray*}$ , es soll aber nach Deiner richtigen Zuordnung $\begin{eqnarray*} f(m_3) = 18 \end{eqnarray*}$ sein , also ist diese Formel nicht richtig.

Überlege nochmal, und denk dran, $\begin{eqnarray*} m_k \end{eqnarray*}$ bezeichnet Elemente in M , $\begin{eqnarray*} f(m_k) \end{eqnarray*}$ bezeichnet Elemente in N.

07.02.2012, 17:13

an-drej

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Tut mir Leid aber ich komme gerade nicht auf die Formel böse

böse

Hab jetzt eine menge ausprobiert aber dann gehts beim nächsten wieder nicht auf -.-

07.02.2012, 17:19

Mazze

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Vielleicht hilfts dir wenn ichs so schreibe :

$\begin{eqnarray*} f(m_1) = 10 + 0*4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(m_2) = 10 + 1*4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(m_3) = 10 + 2*4 \end{eqnarray*}$

07.02.2012, 17:24

an-drej

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Ist das die Formel?

$\begin{eqnarray*} f(m_k) = 10 + k_{-1}*4 \end{eqnarray*}$

07.02.2012, 17:25

Mazze

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Ja, das ist sie. Zeige jetzt das die Funktion

$\begin{eqnarray*} f : M \to N \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} f(m_k) = 10 + (k-1)\cdot 4 \end{eqnarray*}$

bijektiv ist, und berechne die Umkehrfunktion Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

07.02.2012, 17:49

an-drej

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Die Funktion
$\begin{eqnarray*} f : M \to N \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} f(m_k) = 10 + (k-1)\cdot 4 \end{eqnarray*}$
ist bijektiv, weil für jedes $\begin{eqnarray*} m_k \in M \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} f(m_k) \in N \end{eqnarray*}$ zugeordnet werden kann.

Die Umkehrfunktion ist
$\begin{eqnarray*} f^{-1} : N \to M \end{eqnarray*}$

so und jetzt klemmts wieder

aber soweit korrekt?

07.02.2012, 17:52

Mazze

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(m_k) = 10 + (k-1)\cdot 4 \end{eqnarray*}$ ist bijektiv, weil für jedes $\begin{eqnarray*} m_k \in M \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} f(m_k) \in N \end{eqnarray*}$ zugeordnet werden kann.

Alle Vögel können fliegen, weil alle Vögel fliegen können. Das ist die selbe Argumentation. Du musst explizit nachweisen , dass die Funktion

Injektiv ist

Surjektiv ist

Schau in deine Aufzeichnungen wie diese Begriffe definiert sind. Und Formuliere dieses für diese Funktion schreibe es dann mal auf und Du siehst schon wo es lang geht.

07.02.2012, 18:00

an-drej

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Injektiv ist ja wenn es höchstens eine Lösung hat.
Surjektiv, wenn mindestens eine Lösung und
Bijektiv, wenn beides, also genau eine Lösung.

Naja, wissen tu ich es ja dass die Funktion injektiv und surjektiv und somit bijektiv ist aber mit dem
beweisen da komm ich nicht mehr klar -.-

07.02.2012, 18:02

Mazze

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Zitat:

Injektiv ist ja wenn es höchstens eine Lösung hat.

Das ist nicht die formale Definition.

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f :M \to N \end{eqnarray*}$ ist genau dann injektiv , wenn gilt :

$\begin{eqnarray*} f(a) = f(b) \Rightarrow a = b \end{eqnarray*}$

Das ist zu zeigen. Formuliere diese Aussage für unsere Funktion und führe den Beweis.

07.02.2012, 18:08

an-drej

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Sorry bei mir ist wieder alles blockiert..
ich komm da nicht ohne weiteres drauf traurig

traurig

07.02.2012, 18:09

Mazze

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Einfach nur Aufschreiben, mehr muss man da fast nicht tun. Da ist kaum Gehirnleistung dabei.

07.02.2012, 18:12

an-drej

Auf diesen Beitrag antworten »

So vielleicht?
$\begin{eqnarray*} f(m_k)=f(n_k) \Rightarrow m=n \end{eqnarray*}$

07.02.2012, 18:19

Mazze

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Naja, immerhin schon ein Anfang

Aber Du machst Dir zu wenig Gedanken darüber was Du aufschreibst. Was soll $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ sein ? Das haben wir doch gar nicht definiert. Wir haben $\begin{eqnarray*} m_k \end{eqnarray*}$ definiert. Was kann sich ändern ? Das k. Korrekt ist also zu zeigen :

$\begin{eqnarray*} f(m_k) = f(m_l) \Rightarrow k = l \end{eqnarray*}$

Das reicht, denn aus k = l folgt $\begin{eqnarray*} m_k = m_l \end{eqnarray*}$ und damit ist die Injektivität gezeigt. Deine Aufgabe ist es also eben genau

$\begin{eqnarray*} f(m_k) = f(m_l) \Rightarrow k = l \end{eqnarray*}$

zu zeigen. Setze die Definition unsere Funktion ein, und Forme etwas um.

07.02.2012, 18:37

an-drej

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Sorry steh total neben der Spur..
Hab keine Ahnung wie ich dass
$\begin{eqnarray*} f(m_k) = f(m_l) \Rightarrow k = l \end{eqnarray*}$
umformen soll.
vor allem dass:
$\begin{eqnarray*} f(m_l) \end{eqnarray*}$

sorry dass es so lang gedauert hat aber da stand was von server down

07.02.2012, 18:42

Mazze

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Zitat:

Hab keine Ahnung wie ich dass umformen soll.

Ich glaube eher Du verstehst nicht mal die Bedingung

$\begin{eqnarray*} f(m_k) = f(m_l) \Rightarrow k = l \end{eqnarray*}$

Bedeutet :

Wenn $\begin{eqnarray*} f(m_k) = f(m_l) \end{eqnarray*}$ gilt, dann folgt dass k = l gelten muss.

So,

Beweis :

Es sei also $\begin{eqnarray*} f(m_k) = f(m_l) \end{eqnarray*}$ , dann .... Jetzt setzt Du unsere Definition für f ein und Formst solange um bis k = l da steht.

07.02.2012, 18:46

an-drej

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Das ist es wohl. ich kann mit dieser Bedingung nichts anfangen tut mir Leid.
habe nebenher versucht die umkehrfunktion versucht zu berechnen aber da
komm ich ebenfalls nicht weiter..

07.02.2012, 18:52

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis :

Es sei $\begin{eqnarray*} f(m_k) = f(m_l) \end{eqnarray*}$

dann ist also

$\begin{eqnarray*} 10 + (k - 1)\cdot 4 = 10 + (l - 1) \cdot 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (k - 1)\cdot 4 = (l - 1) \cdot 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (k - 1) = (l - 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow k = l \end{eqnarray*}$

Damit ist f injektiv. Eigentlich hat man dafür nur Schulmathe gebraucht. Abe rmal eine andere Frage : Kennst Du diese Definition überhaupt ?

07.02.2012, 18:57

an-drej

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das hab ich verstanden aber wenn ich es für unsere definition von f machen will weiß ich nicht wie
ich anfangen soll.
Sorry

07.02.2012, 18:59

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Beantworte mal meine Frage :

Zitat:

Kennst Du diese Definition überhaupt ?

Ansonsten :

Zitat:

Ok das hab ich verstanden aber wenn ich es für unsere definition von f machen will weiß ich nicht wie ich anfangen soll.

Ich habe gerade für unser f gezeigt dass die Funktion injektiv ist. Wenigstens die Lösung solltest Du doch als solchce erkennen .

07.02.2012, 19:02

an-drej

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt kenne ich diese Definition.

Naja ich frage mich warum $\begin{eqnarray*} f(m_l) \end{eqnarray*}$
könnte an dieser stelle ein x-beliebiger Buchstabe stehen?

07.02.2012, 19:04

an-drej

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Jetzt kenne ich diese Definition.

Naja ich frage mich warum $\begin{eqnarray*} f(m_l) \end{eqnarray*}$
könnte an dieser stelle ein x-beliebiger Buchstabe stehen?also an Stelle des l ?

07.02.2012, 19:10

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Jetzt kenne ich diese Definition.

Auf welchem Niveau betreibst Du Mathematik ? Wenn ihr diese Definition von Injektiv noch nicht hattet ist der Ganze Aufwand hier nicht wirklich zielführend. Wie habt ihr Bijektivität definiert ?

Zitat:

könnte an dieser stelle ein x-beliebiger Buchstabe stehen?also an Stelle des l ?

Der Punkt ist, dass bei der Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(m_k) = f(m_l) \end{eqnarray*}$

erstmal nur gefordert wird, dass die beiden Funktionswerte gleich sind. Eine Funktion ist dann injektiv, wenn bei gleichen Funktionswerten auch die Argumente gleich sind. Nun wissen wir von vornherein aber nicht, ob das auch so ist, daher wählen wir zwei verschiedene Bezeichner für die Argumente, nämlich m_k und m_l. Wenn wir dann zeigen können, dass diese doch gleich sind, haben wir den Beweis erbracht. Es ist so dass Du jeden bel. Buchstaben nehmen kannst, man hätte auch

$\begin{eqnarray*} f(m_{\text{ oma }}) = f(m_{\text{opa}}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \text{oma},\text{opa} \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

schreiben können, dann hätten wir $\begin{eqnarray*} \text{oma} = \text{opa} \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

07.02.2012, 19:16

an-drej

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du merkst auf keinem hohen..
Diese Definition kenne ich schon, habe diese aber nicht verstanden wie es gemeint ist.
Ich brauche bei sowas immer etwas länger wie du schon sicher gemerkt hast..

wäre es bei surjektiv dann so:

$\begin{eqnarray*} f(m_k)=N \end{eqnarray*}$

?

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