Bijektive Abbildung / Umkehrabbildung - Seite 2

07.02.2012, 19:21

Mazze

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Zitat:

Wie du merkst auf keinem hohen..

Der Punkt ist doch der, ich muss Dir keine neuen Begriffe beibringen wenn es für euch überhaupt nicht erforderlich ist. Nun ist es aber so dass

Zitat:

Diese Definition kenne ich schon, habe diese aber nicht verstanden wie es gemeint ist.

Das Hilft uns schon. Aber mal ehrlich, das hätte früher kommen müssen. Du kannst nicht Anfangen zu gehen wenn Du noch nie gekrabbelt bist. Wie willst Du injektivität zeigen wenn Du die Definition schon nicht verstehst ?

Also ganz allgemein, eine Funktion heißt injektiv wenn

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \Rightarrow x = y \end{eqnarray*}$ für alle x,y gilt.

Welche Probleme hast Du mit dieser Definition ?

07.02.2012, 19:32

an-drej

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Ich habe einen Denkfehler gemacht und zwar dachte ich hier:

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \Rightarrow x = y \end{eqnarray*}$

dass x und y die selbe Zahl sind. Frag mich nicht warum aber jetzt sitzt.
Habe es wohl nicht richtig durchgelesen und so ist es mir dann hängengebklieben. SORRY.

Jetzt weiß ich es.

Nun gut. Dann habe ich dass mit surjektiv auch verstanden:

$\begin{eqnarray*} f(m_k)=N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(m_3)=N_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 10+2*4=14 \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} 14=14 \end{eqnarray*}$

07.02.2012, 19:35

Mazze

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(m_k)=N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(m_3)=N_3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 10+2*4=14 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} 14=14 \end{eqnarray*}$

Mir ist nicht ganz klar was Du da machst. Was soll N sein ? Wir haben doch in der Aufgabe schon ein N, nämlich die Bildmenge, dann macht doch der Ausdruck

f(m_k)=N

überhaupt keinen Sinn.

07.02.2012, 19:38

an-drej

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ok sorry...

$\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$
Surjektiv, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$
oder?

07.02.2012, 19:40

Mazze

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So ist das nicht richtig.

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : M \to N \end{eqnarray*}$ heißt surjektiv wenn es für alle $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$ gilt.

Beweis, sei also $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ , jetzt musst Du ein $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ finden , so dass $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$ ist.

07.02.2012, 19:46

an-drej

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Nochmal anders geschrieben:

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : M \to N \end{eqnarray*}$ heißt surjektiv wenn es für alle $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m_k \in M \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} f(m_k) = y \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} f(m_k) = y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(m_3) = y_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 10+2*4= 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 18=18 \end{eqnarray*}$

So müsste dass doch korrekt sein?

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07.02.2012, 19:49

Mazze

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Zitat:

So müsste dass doch korrekt sein?

Du kannst nicht mit einem Beispiel eine Aussage beweisen. Du hast die Aussage lediglich für y_3 gezeigt. Du sollst die Aussage aber für alle (!) y zeigen.

07.02.2012, 19:54

an-drej

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Ok dann hab ich keine Ahnung wie ich des zu Ende bringen soll...

Ich DANKE Dir trotzdem vielmals für deine Hilfe und dass du dich den ganzen
Tag hier mit mir und meinem Problem beschaftigt hast. Und natürlich für deine schnellen Antworten.
DANKE DANKE DANKE

07.02.2012, 20:00

Mazze

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Wenn ich das auch noch für dich mache hab ich die ganze AUfgabe gelößt.

So, wie die Ganze Zeit schon gepredigt, ich schreibe erst mal alles auf, bevor ich auch nur irgendwie versuche was zu lösen.

Es sei also $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ , dann suchen wir ein x aus M so dass

$\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$

Jetzt setzen wir wieder unsere Definition von f eine :

10 + (k - 1)*4 = y

Wir suchen jetzt ein k aus den natürlichen Zahlen, so dass die Gleichung gilt. Welches k könnte das wohl sein ?

07.02.2012, 20:07

an-drej

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Sorry ich hab keine Ahnung welches k ein y ergeben könnte

07.02.2012, 20:08

Mazze

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Naja, du könntest die Gleichung ja mal nach k umstellen, wie mans so aus der Schule kennt, wenn man zu gegebenem y ein k sucht.

07.02.2012, 20:18

an-drej

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k=0,25y - 1,5 ?

07.02.2012, 20:26

Mazze

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Ja, das ist richtig. Jetzt muss man sich überlegen ob dieses k auch wirklich eine natürliche Zahl ist.

Da $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ ist, gibt es eine natürliche Zahl l, so dass $\begin{eqnarray*} y = 10 + l*4 \end{eqnarray*}$ ist. Mach dir das klar. Daher ist

$\begin{eqnarray*} k = 0.25*y - 1.5 = 0.25*(10 + 4*l) - 1.5 = 2.5 + l - 1.5 = l + 1 \end{eqnarray*}$

Damit ist also $\begin{eqnarray*} 0.25*y - 1.5 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ . Das heißt also

$\begin{eqnarray*} f(m_k) = f(m_{l+1}) = 10 + (l + 1 - 1)*4 = 10 + l*4 = y \end{eqnarray*}$

Damit ist f surjektiv. Im übrigen kannst Du aus den Überlegungen der Surjektivität direkt die Umkehrfunktion ablesen.

07.02.2012, 20:47

an-drej

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Wow ich kann dem folgen und verstehe es sogar.

Aber die umkehrfunktion kann ich nicht ablesen

07.02.2012, 20:57

Mazze

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Naja, du suchst eine Funktion g, so dass

$\begin{eqnarray*} g(f(m_k)) = m_k \end{eqnarray*}$

ist, und naja, die steht schon da.

07.02.2012, 21:02

an-drej

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ich komme da nie auf das m_k nur auf das k?

07.02.2012, 21:07

Mazze

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Naja, mit dem k identifizierst Du doch die m_k's eindeutig. Aber ums kurz zu machen :

Es sei $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ , dann kann man ja, wie wir oben gehen haben schreiben :

Definiere g :

$\begin{eqnarray*} g : N \to M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(y) = m_{0.25y - 1.5} \end{eqnarray*}$

fertig ist die Laube.

07.02.2012, 21:14

an-drej

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Achsooooo ohje ich fühl mich grad richtig dumm Big Laugh

Big Laugh

jetzt versteh ich es. Die Abblidung würde ja dann so aussehen:

1 -> 10
4 -> 14
7 -> 18
10 -> 22

und umkehrabbildung:

1 <-> 10
4 <-> 14
7 <-> 18
10 <-> 22

07.02.2012, 21:17

Mazze

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Zitat:

und umkehrabbildung: 1 <-> 10 4 <-> 14 7 <-> 18 10 <-> 22

eher

10 -> 1

14 -> 4

18 -> 7

07.02.2012, 21:19

an-drej

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ok warum das den jetzt?

Zitat:

10 -> 1
14 -> 4
18 -> 7

07.02.2012, 21:21

Mazze

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Die Umkehrabbildung ordnet jedem $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ zu.

07.02.2012, 21:21

an-drej

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Auf jeden fall sei etwas mal gesagt...
Hmmm was soll ich sagen? Natürlich..

DANKE DANKE DANKE DANKE
für das Helfen und vor allem dafür dass du mir das beigebracht hast!
Ich glaubs nicht dass ich es verstehe...habe extra nochmal alle schritte gemacht
um es zu testen ob alles sitzt.
DANKE smile

smile

))

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