Bijektive Abbildung / Umkehrabbildung

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an-drej Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektive Abbildung / Umkehrabbildung
Meine Frage:
Hallo alle zusammen..
bin neu hier und hoffe erst mal die Frage am richtigen Fleck platziert zu haben, falls nicht dann entschuldigt mich.

Zunächst mal ist mir folgendes gegeben:
M={1,4,7,10,...} und N={10,14,18,22,...}

Nun soll eine bijektive Abbildung von f: M -> N und deren Umkehrabbildung angegeben werden.

Wie geht man dabei nun vor?

Vielen Dank schon mal

Meine Ideen:
was ich weiß ist, dass f genau dann bijektiv ist, wenn die Gleichung f(x) =y für jedes y Element von N genau eine Lösung hat.
Jedoch komme ich im Moment einfach nicht weiter -.-
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
was ich weiß ist, dass f genau dann bijektiv ist, wenn die Gleichung f(x) =y für jedes y Element von N genau eine Lösung hat.


Dafür kennst Du sicherlich noch andere Formulierungen. Aber DU musst ja erstmal eine Zuordnung finden von der Du die Bijektivität überprüfen kannst. Überlege möglichst einfach. Du willst jedem Element aus M genau ein Element aus N zuordnen, wie könnte man das wohl?
 
 
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde keine mögliche Zuordnung, sodass jede Zahl zugeordnet werden könnte.
Ich stehe momentan ziemlich auf dem Schlauch verwirrt
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich finde keine mögliche Zuordnung, sodass jede Zahl zugeordnet werden könnte.


Hast Du es denn schon mal versucht? Die Zuordnung die ich im Kopf hab ist so leicht dass Du dich ärgern wirst wenn ichs Dir sage.

Nehmen wir die 1, welche Zahl aus N würdest Du der 1 zurodnen ?
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde die 10 nehmen, also +9
bei 4 die 14, also +10
bei 7 die 18, also plus 11
und so weiter...

aber das ist es doch nicht oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
aber das ist es doch nicht oder?


Wieso nicht, ist diese zuordnung injektiv?
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist sie Big Laugh
Würde die bijektive Abbildung dann so aussehen:

M N
1 -> 10
4 -> 14
7 -> 18
.
.
.

und die Umkehrabbildung so:

M N
1 <-> 10
4 <-> 14
7 <-> 18
.
.
.

oder mach ich da wieder was falsch?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Also,

zunächst ist deine Idee eine richtige. Allerdings solltest Du, bevor Du den Beweis angehst dass diese Zuordnung bijektiv ist, diese Zuordnung ordentlich formal beschreiben. Sprich, du sollst eine Funktion



aufstellen, die genau deine Zuordnung beschreibt. Dann kannst Du die Bijektivität ordentlich zeigen und Du kannst die Umkehrabbildung besser formulieren.
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mein Problem..
ich weiß nicht wie ich solche eine Funktion aufstellen soll.
Für 1 wäre das:

für 4:


wie komm ich auf eine Funktion, die dann genau diese zuordnung beschreibt.

Das Thema macht mich verrückt.
Modulo, Matrizen, Vektoren sind kein Problem aber dieses bereitet mir Kopfzerbrechen verwirrt
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Naja,

als erstes schaut man sich die Menge M an, wir ordnen die Elemente und setzen







usw., was ist dann

für ?

Damit haben wir



Wie könntest Du jetzt



definieren , damit Du genau deine Zuordnung hast?
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie könntest Du jetzt

definieren , damit Du genau deine Zuordnung hast?


Ich weiß es nicht tut mir leid traurig

Jetzt bin ich mir nicht mal mehr sicher ob ich es mit der Lösung verstehen würde -.-
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib es doch einfach mal hin





usw.

Der Vorteil hierbei ist, dass wir jetzt einen Index haben der 1,2,3,4, usw. durchläuft. Damit können wir die Elemente in N wesentlich besser parametrisieren.
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

ok..




Ist das so korrekt?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ok.. Ist das so korrekt?


Das ergibt keinen Sinn. Ich habe doch oben geschrieben :





damit ist



, so und jetzt nochmal.
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

ich dachte dass das Ergebnis von ein N sein sollte.

was soll dann bei als Ergebnis stehen?

muss da wieder 7 stehen?

also
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ließt Du was ich schreibe ?

Wie kommst Du denn auf

Zitat:
also


wenn ich schon

Zitat:


geschrieben habe ?

Nochmal zum Mitmeisseln : Ich habe die Elemente in M indiziert, sprich, ich habe einen Bezeichner mit Index eingeführt um die Elemente aus M einfach zu beschreiben. Etwa hab ich dem Element 1 den Bezeichner zugeordnet, dem Element 4 hab ich den Bezeichner zugeordnet usw. Das ist keine Hexerei. Der Vorteil davon ist, dass ich die Elemente aus M nun sehr leicht beschreiben kann, etwa ist



So, und jetzt hast Du dir ja schon die Zuordnung

1 -> 10
4 -> 14
7 -> 18

überlegt. Dafür können wir jetzt schreiben :





usw. bis hier hin hab ich noch überhaupt keine intelligente Arbeit geleistet. Ich hab nur den Spaß ordentlich formuliert. Deine Aufgabe ist es allgemein zu definieren was

für

genau sein soll. Dann hast Du alles um den Eigentlich beweis anzutreten.
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
So, und jetzt hast Du dir ja schon die Zuordnung

1 -> 10
4 -> 14
7 -> 18

überlegt. Dafür können wir jetzt schreiben :





okay das hab ich jetzt zumindest mal geblickt. Einfach konkret formulieren..
aber hier verstehe ichs nicht
Zitat:
für


wäre das die korrekte Formel?

Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wäre das die korrekte Formel?


Naja, nicht ganz. Wenn Du eine Formel aufstellst, dann setze doch einfach mal ein und schau nach was rauskommt. Wenn ich etwa k = 3 in deiner Formel setze :

, es soll aber nach Deiner richtigen Zuordnung sein , also ist diese Formel nicht richtig.

Überlege nochmal, und denk dran, bezeichnet Elemente in M , bezeichnet Elemente in N.
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid aber ich komme gerade nicht auf die Formel böse
Hab jetzt eine menge ausprobiert aber dann gehts beim nächsten wieder nicht auf -.-
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilfts dir wenn ichs so schreibe :



an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das die Formel?

Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist sie. Zeige jetzt das die Funktion



mit



bijektiv ist, und berechne die Umkehrfunktion Augenzwinkern .
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion


mit


ist bijektiv, weil für jedes genau ein zugeordnet werden kann.

Die Umkehrfunktion ist


so und jetzt klemmts wieder

aber soweit korrekt?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ist bijektiv, weil für jedes genau ein zugeordnet werden kann.


Alle Vögel können fliegen, weil alle Vögel fliegen können. Das ist die selbe Argumentation. Du musst explizit nachweisen , dass die Funktion

Injektiv ist

Surjektiv ist

Schau in deine Aufzeichnungen wie diese Begriffe definiert sind. Und Formuliere dieses für diese Funktion schreibe es dann mal auf und Du siehst schon wo es lang geht.
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

Injektiv ist ja wenn es höchstens eine Lösung hat.
Surjektiv, wenn mindestens eine Lösung und
Bijektiv, wenn beides, also genau eine Lösung.

Naja, wissen tu ich es ja dass die Funktion injektiv und surjektiv und somit bijektiv ist aber mit dem
beweisen da komm ich nicht mehr klar -.-
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Injektiv ist ja wenn es höchstens eine Lösung hat.


Das ist nicht die formale Definition.

Eine Funktion ist genau dann injektiv , wenn gilt :



Das ist zu zeigen. Formuliere diese Aussage für unsere Funktion und führe den Beweis.
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry bei mir ist wieder alles blockiert..
ich komm da nicht ohne weiteres drauf traurig
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach nur Aufschreiben, mehr muss man da fast nicht tun. Da ist kaum Gehirnleistung dabei.
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

So vielleicht?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, immerhin schon ein Anfang

Aber Du machst Dir zu wenig Gedanken darüber was Du aufschreibst. Was soll sein ? Das haben wir doch gar nicht definiert. Wir haben definiert. Was kann sich ändern ? Das k. Korrekt ist also zu zeigen :



Das reicht, denn aus k = l folgt und damit ist die Injektivität gezeigt. Deine Aufgabe ist es also eben genau



zu zeigen. Setze die Definition unsere Funktion ein, und Forme etwas um.
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry steh total neben der Spur..
Hab keine Ahnung wie ich dass

umformen soll.
vor allem dass:


sorry dass es so lang gedauert hat aber da stand was von server down
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hab keine Ahnung wie ich dass umformen soll.


Ich glaube eher Du verstehst nicht mal die Bedingung



Bedeutet :

Wenn gilt, dann folgt dass k = l gelten muss.

So,

Beweis :

Es sei also , dann .... Jetzt setzt Du unsere Definition für f ein und Formst solange um bis k = l da steht.
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist es wohl. ich kann mit dieser Bedingung nichts anfangen tut mir Leid.
habe nebenher versucht die umkehrfunktion versucht zu berechnen aber da
komm ich ebenfalls nicht weiter..
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis :

Es sei

dann ist also









Damit ist f injektiv. Eigentlich hat man dafür nur Schulmathe gebraucht. Abe rmal eine andere Frage : Kennst Du diese Definition überhaupt ?
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das hab ich verstanden aber wenn ich es für unsere definition von f machen will weiß ich nicht wie
ich anfangen soll.
Sorry
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Beantworte mal meine Frage :

Zitat:
Kennst Du diese Definition überhaupt ?


Ansonsten :

Zitat:
Ok das hab ich verstanden aber wenn ich es für unsere definition von f machen will weiß ich nicht wie ich anfangen soll.


Ich habe gerade für unser f gezeigt dass die Funktion injektiv ist. Wenigstens die Lösung solltest Du doch als solchce erkennen .
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt kenne ich diese Definition.

Naja ich frage mich warum
könnte an dieser stelle ein x-beliebiger Buchstabe stehen?
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt kenne ich diese Definition.

Naja ich frage mich warum
könnte an dieser stelle ein x-beliebiger Buchstabe stehen?also an Stelle des l ?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jetzt kenne ich diese Definition.


Auf welchem Niveau betreibst Du Mathematik ? Wenn ihr diese Definition von Injektiv noch nicht hattet ist der Ganze Aufwand hier nicht wirklich zielführend. Wie habt ihr Bijektivität definiert ?

Zitat:
könnte an dieser stelle ein x-beliebiger Buchstabe stehen?also an Stelle des l ?


Der Punkt ist, dass bei der Gleichung



erstmal nur gefordert wird, dass die beiden Funktionswerte gleich sind. Eine Funktion ist dann injektiv, wenn bei gleichen Funktionswerten auch die Argumente gleich sind. Nun wissen wir von vornherein aber nicht, ob das auch so ist, daher wählen wir zwei verschiedene Bezeichner für die Argumente, nämlich m_k und m_l. Wenn wir dann zeigen können, dass diese doch gleich sind, haben wir den Beweis erbracht. Es ist so dass Du jeden bel. Buchstaben nehmen kannst, man hätte auch

für

schreiben können, dann hätten wir zu zeigen.
an-drej Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du merkst auf keinem hohen..
Diese Definition kenne ich schon, habe diese aber nicht verstanden wie es gemeint ist.
Ich brauche bei sowas immer etwas länger wie du schon sicher gemerkt hast..

wäre es bei surjektiv dann so:



?
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