Vektoren, Matrix uvm. |
| 07.02.2012, 14:56 | GuruOfGreatness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Vektoren, Matrix uvm. und U=span(a1,a2,a3,a4) (i) Bestimmen Sie eine Basis, die Dimension und den Kern von U. (ii) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von U. (iii) Prüfen Sie, ob der Vektor a= in U liegt, d.h. ob a element U gilt. (iv) Geben Sie einen Vektor b ungleich 0 an, der senkrecht auf allen Vektoren aus span(a1; a3; a4) steht. Hinweis: Es muss klar erkennbar sein, wie Sie Ihr Ergebnis berechnet/gefunden haben! |
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| 07.02.2012, 15:20 | GuruOfGreatness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Habe ausversehen statt auf Vorschau auf erstellen geklickt. Also tut mir Leid für den Doppelpost. Meine Ansätze: Ersteinmal bin ich Grundsätzlich etwas verwirrt. bin mir nämlich nicht sicher wie die Matrix U aussehen muss. oder ausehen muss. Nun denn. Ich habe mich für die Bestimmung der Basis für das erste endschieden, da ich gelernt hatte, dass, wenn man den span einer Matrix bekommt, sollte man die Vektoren Zeilenweise aufschreiben und mit Gauß verfahren lösen. Habe für die Basis also folgendes errechnet: Basis: So nun zum Kern. Welche der 2 Matrizen muss ich für die Berechnung des Kerns wählen? Ich habe gelernt, dass um die Basis einer Matrix zu Bestimmen, muss ich eine Matrix transponieren, nach Gauß auflösen und die übriggebliebenen Zeilen sind die Basis. Demnach, müsste also doch die zweite von mir angegebene Variante die Matrix U sein? Oder hab ich einen Denkfehler? Und um den Kern der Matrix zu berechnen müsste ich doch die Lösungen den homogenen Gleichungssystems U=0 lösen. Sehe ich das Richtig? |
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| 08.02.2012, 11:15 | giu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi Guru Bevor wir mit der Berechnung des Kerns fortfahren, folgende Frage: Was wäre Deiner Meinung nach das Problem bei der ersten Matrix? |
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| 08.02.2012, 11:50 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was ist denn der Kern eines Unterraums? 
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| 08.02.2012, 12:56 | GuruOfGreatness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Kern einer Matrix ist doch immer ein Unterraum. Bei der ersten Matrix sehe ich ehrlich gesagt weniger das Problem, eher bei der zweiten. Wenn ich bei der ersten den Kern berechne bekomme ich 2 Vektoren mit einer 5x1 Darstellung während ich bei der zweiten einen Vektor mit 4x1 bekomme. |
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| 08.02.2012, 13:25 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Man berechnet den Kern einer Abbildung f, ist f eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, also f:V-->W, dann ist der Kern ein Unterraum von V, das ist richtig, eine Matrix kann eine lineare Abbildung präsentieren, aber in deiner Aufgabenstellung steht, dass U der von den gegebenen Vektoren aufgespannte Raum ist. Nun sollst du (nach deiner Aufgabe) den Kern von U bestimmen, und da stellt sich die Frage, was denn der Kern eines Unterraums ist..... |
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| 08.02.2012, 14:18 | GuruOfGreatness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Diese Aussage verwirrt mich auch vielfache Weise. Spontan würde ich antworten der Kern eines Unterraums, ist der Unterraum selber. |
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| 08.02.2012, 16:02 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie gesagt, mir ist es nicht geläufig, Kerne von Unterräumen zu bestimmen, und ich wüsste auch nicht, wie sie definiert sind. Aber nun denn.... Eine Basis ist richtig bestimmt, die Dimension sollte kein Problem sein, einfach die Definition benutzen. Wie sieht es mit den restlichen Aufgaben aus? |
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| 08.02.2012, 16:59 | GuruOfGreatness | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Vektoren, Matrix uvm. Bei iv) habe ich jeweils das Skalar Produkt der drei Vektoren mit b berechnet und habe dann 3 Gleichungen bekommen, diese dann gelöst und hatte 2 frei wählbare Variablen. Hab dann b= (-2,-1,-1,1,1) rausbekommen. Passte auch soweit ganz gut. Bei ii) steh ich ein wenig auf dem Schlauch. Ich frage mich ob es überhaupt möglich ist eine ON Basis zu einer 5x4 Matrix aufzustellen. Oder muss ich dann eine "Nullzeile" ergänzen. Bei iii) weiß ich auch nicht recht. Wenn der Vektor a ein Element von U sein soll, müsste dieser doch als Linearkombination von a1 - a4 darstellbar sein. Aber ich sehe keine Möglichkeit. Daher würde ich sagen, dass a kein Element von U ist. Aber ein mathematischer Ansatz fehlt mir auch hier. |
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| 08.02.2012, 17:13 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Vektoren, Matrix uvm.
Ja das ist ein zielführendes Verfahren. Habe den Vektor nicht geprüft, aber wenn du sagst, dass der passt, geh ich mal von dessen Korrektheit aus.
Also jetzt nochmal langsam. Zu einer Matrix an sich findest du überhaupt keine Basis. Gesucht ist hier nämlich auch die Basis des Spans, welcher U heißt. Der Span ist keine Matrix sondern ein Unterraum. Von diesem hast du ja in Teil (i) eine Basis ausgerechnet. Aus dieser Basis kannst du nun mit Gram-Schmit eine ONB ausrechnen.
Also du brauchst nicht a1-a4, sondern es reicht, wenn du dir die drei Basisvektoren anschaust. Dass ein Vektor im Span dreier Vektoren enthalten ist, ist ja äquivalent zu der aussage, dass der gesuchte Vektor im Bildraum der Matrix ist, die die Basisvektoren als Spalten hat. Wenn also A die Matrix ist, deren Spalten die Basisvektoren sind, und u zu überprüfen ist, musst du das Gleichungssystem Ax=u lösen und schauen, ob ein solches x existiert. |
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