Äquivalenzrelation und Äquivalenzklassen |
| 07.02.2012, 16:53 | Andy667 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Äquivalenzrelation und Äquivalenzklassen Hallo, ich habe folgenden Relation gegeben: R = {(m,n): m/n = 2^k (k ist ein Element der Ganzen Zahlen)} m & n sind Elemente aus X={1,2,...,10} jetzt soll ich nachweisen ob das eine Äquivalenzrelation ist, und wenn ja welche Äquivalenzklassen sie hat. Meine Ideen: um zu Zeigen das es eine ÄR ist muss ich ja zeigen das die Relation: - reflexiv - symetrisch - transitiv ist. reflexiv: (1,1),(2,2),..,(10,10) sind ja alle in der Relation da eine Zahl durch sich selber 1 ist was ja 2^0 ist. -> reflexiv symetrisch: (5,10),(4,8),(3,6),(2,4),(1,2) sind ja alle = 1/2 was ja 2^-1 (10,5),(4,8),(6,3),(4,2),(2,1) sind ja alle 2 was 2^1 ist -> symetrisch transitiv: das passt für einige Pärchen z.B: (1,2) -> (2,4) also auch (1,4) (= 1/4 = 2^-2), aber für (3,6) oder (10,5) finde ich keine passenden Pärchen -> transitiv? wenn die Relation transitiv sein sollte (und damit eine Äquivalenzrelation wäre), was wären dann da die Äquivlanenzklassen? Ich würde behaupten eine ÄK wären alle (m,n) für die das selbe 2^k rauskommt, kann aber nicht begründen warum. danke für die Hilfe |
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| 07.02.2012, 17:21 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das geht auch eleganter. Nehmen wir an die Null gehört nicht zur Grundmenge (dann wäre das Ganze auch nicht symmetrisch) :
Die Aussage der Transitivität ist : Wenn es zwei Paare in R gibt dann muss auch in R sein. Wenn Du für ein Paar kein zweites Paar findest ist nichts zu zeigen, da ja die Bedingung für die Transitivität gar nicht erfüllt ist. Allerdings finde ich für (3,6) ein passendes Pärchen, nämlich (6,3) 
. Ansonsten ist die Relation aber transitiv. Kann man auch allgemein zeigen (sofern die 0 nicht dazu gehört, wie gehabt). |
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| 07.02.2012, 17:43 | Andy667 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also zählt für transitivität in dem fall sowas wie (3,6)->(6,3) also auch (3,3)? und was sind dann die Äquivalenzklassen? |
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| 07.02.2012, 17:45 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, was wäre denn zum Beispiel alles Äquivalent zur 3?
Wie gesagt, wenn (a,b) und (b,c) zu R gehören, dann muss auch (a,c) zu R gehören. Es wird nirgendwo behauptet, dass a,b,c notwendigerweise verschieden sein müssen. Es ist nur wichtig, dass man alle Fälle betrachtet (und im allgemeinen sind auch Fälle dabei wo a,b,c verschieden sind) |
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| 07.02.2012, 22:13 | Andy667 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
welcher 3? als teil des paares wären das ja nur die 6. |
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| 07.02.2012, 22:36 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, eine Äquivalenzrelation drückt ja aus, welche Elemente zu einander äquivalent sind. Bezüglich deiner Relation wären zum Beispiel 3 und 6 Äquivalent, weil eben (3,6) ein Element der Relation R ist. Die Äquivalenzklasse von 3 ist dann die Menge der zu 3 Äquivalenten Elemente der Grundmenge. |
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| 08.02.2012, 14:16 | Andy667 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, dann hab ich also folgenden ÄK: 1: (1,2,4,8) 3: (3,6) - wie du bereits sagtest 5: (5,10) - weil ja 5 zu 10 äquivalent ist 7: (7) - zu 7 ist laut der Relation nichts äquivalent 9: (9) - wie 7, also nur das Element selber |
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| 08.02.2012, 14:24 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn die Grundmenge {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ist, ist soweit alles korrekt. |
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| 08.02.2012, 15:33 | Andy667 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja genau das ist die Grundmenge, danke für die ausführliche Hilfe. |
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