stetige Zufallsvariablen

07.02.2012, 19:30

chell

stetige Zufallsvariablen

Hallo,

habe eine Frage zu stetigen Zufallsvariablen: Kann eine stetige Zufallsvariable die Form haben:

$\begin{eqnarray*} X: \Omega \rightarrow \mathbb N \end{eqnarray*}$

Die Definition, die wir hatten (Existenz der Verteilungsfunktion als Integral über die Dichtefunktion) sagt dazu nichts.

Würde mich über Hilfe sehr freuen!

07.02.2012, 20:29

HAL 9000

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Ist eure Stochastikvorlesung maßtheoretisch untersetzt? Dann ist die Begründung für die richtige Antwort "Nein" sehr einfach.

07.02.2012, 20:58

chell

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Nein, ist sie nicht.

07.02.2012, 22:03

chell

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Vielleicht noch als ergänzende Info: Es handelt sich um eine Statistik für WiWis Vorlesung.

08.02.2012, 18:29

HAL 9000

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Na gut, dann die einfachere aber auch längere Erklärung:

Eine stetige Zufallsgröße muss eine stetige Verteilungsfunktion haben. Damit gilt

$\begin{eqnarray*} P(X=n) = P(X\leq n) - P(X<n) = F_X(n) - F_X(n-0) \stackrel{(*)}{=} 0 \end{eqnarray*}$ ,

dabei ist mit $\begin{eqnarray*} F_X(n-0) \end{eqnarray*}$ der linksseitige Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\nearrow n} F_X(t) \end{eqnarray*}$ gemeint. Die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ speziell an der Stelle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ fließt dabei in die Gleichheit (*) ein.

Das gilt nun aber für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , womit auch $\begin{eqnarray*} P(X\in \mathbb{N}) = \sum_{n\in\mathbb{N}} P(X=n) = 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss ...

08.02.2012, 22:15

chell

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Danke für die Antwort. Mir ist aber noch nicht klar, warum das jetzt heißt, dass eine stetige Zufallsvariable nicht so definiert sein kann, dass sie nur natürliche Zahlen annimmt (bzw. in diese abbildet).

08.02.2012, 22:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von chell
Mir ist aber noch nicht klar, warum das jetzt heißt, dass eine stetige Zufallsvariable nicht so definiert sein kann, dass sie nur natürliche Zahlen annimmt.

Nicht mal den winzigen verbleibenden Schritt selbständig machen? Finger1

Was heißt denn die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} X: \Omega \rightarrow \mathbb N \end{eqnarray*}$ ? Dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nur natürliche Zahlen annehmen kann!!! Und das somit $\begin{eqnarray*} P(X\in \mathbb{N}) = 1 \end{eqnarray*}$ gelten muss, im Widerspruch zum obigen $\begin{eqnarray*} P(X\in \mathbb{N}) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Aus der Argumentation sollte deutlich geworden sein, dass sämtliche Zufallsgrößen

$\begin{eqnarray*} X: \Omega \rightarrow A \end{eqnarray*}$

mit höchstens abzählbarer Wertemenge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht stetig sein können.

09.02.2012, 08:46

chell

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Jetzt ist es klar, danke. War kein Fall von Faulheit, ich habe es schlichtweg nicht gesehen.

09.02.2012, 10:24

chell

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Eine kleine Nachfrage noch, nur um sicherzustellen, dass ich das jetzt wirklich verstanden habe:

Wenn wir eine stetige Zufallsvariable betrachten der Form:

$\begin{eqnarray*} X : \Omega \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dann muss gelten:

$\begin{eqnarray*} P(X \in \mathbb R) = 1 \end{eqnarray*}$

und gleichzeitig:

$\begin{eqnarray*} P(X = n) = 0 \forall n \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X \in \mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist doch jetzt die Summe über alle überabzählbar vielen Wahrscheinlichkeiten (dass die Zufallsvariable die jeweilige reelle Zahl annimmt). Diese überabzählbar vielen Wahrscheinlichkeiten sind doch jetzt aber alle 0 oder? Wieso ist die Summe dann trotzdem 1? Liegt das irgendwie daran, dass wir überabzählbar viele Einzelwahrscheinlichkeiten haben?

Ich kann die Argumentation für die natürlichen Zahlen insofern nachvollziehen, dass wir festgestellt haben: Jede Einzelwahrscheinluchkeit ist 0, damit ist die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten 0. Dies ist aber die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable "ein Element der natürlichen Zahlen ist" (ich weiß schon, was damit gemeint ist, kann es aber schwer ausdrücken), die gemäß Definition Wahrscheinlichkeitsmaß 1 sein muss. Was ist jetzt aber genau der Unterschied bei den rellen Zahlen (siehe meine Nachfrage oben)?

Danke für die Geduld, ich weiß das zu schätzen! Bin nicht immer ein einfacher Fall ;-)

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