Koordinaten der Spitze eines Tetraeders bestimmen

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Sabine03 Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinaten der Spitze eines Tetraeders bestimmen
Meine Frage:
Hallo,

folgendes Problem:

Beschreiben Sie ein Verfahren, wie man die Koordinaten eines Punktes Z bestimmen kann, so dass die Dreieckspyramide mit Grundfläche ABC und Spitze Z ein Tetraeder (Pyramide mit 4 Kongruenten, gleichseitigen Dreiecken) ist.
(Eine konkrete Rechnung wird nicht verlangt.)



Meine Ideen:
Der Ortsvektor von Z ergibt sich aus dem Dreiecksmittelpunkt (hier ist das Dreieck gleichseitig) + einem Vielfachen den Kreuzproduktes von AB und AC.
Mir gelingt es aber nicht, herauszufinden, was der Dreiecksmittelpunkt ist und wie groß das Vielfache sein muss.

Danke für eure hilfe Augenzwinkern

Eure Sabine
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinaten der Spitze eines Tetraeders bestimmen
der "mittelpunkt des grunddreiecks" ist dessen schwerpunkt
Sabine03 Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Schnittpunkt der Winkelhalbirenden? Die Länge dieser erhalte ich ja mit Pythagoras und den Beträgen der Vektoren.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

der schwerpunkt ist der schnittpunkt der seitenhalbierenden, was aber im gls. 3eck dasselbe ist. er teilt die seitenhalbierende im verhältnit 2: 1.
pythagoras ist ein guter weg.
Sabine03 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Dann ist die Länge einer Seitenhalbierenden = . Und nun?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sabine03
Ok. Dann ist die Länge einer Seitenhalbierenden = . Und nun?


das ist korrekt.
einfacher ist folgender weg, um zum schwerpunkt zu kommen:



jetzt mußt du noch mit pythagoras die höhe H des tetraeders ausrechnen, tipp steht oben, und von S diese länge senkrecht nach oben/unten marschieren.
wie das geht, wirst du ja wissen Augenzwinkern
 
 
Sabine03 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Gleichung für die Koordinaten des Schnittpunkts habe ich auch schon gesehen, aber mir war und ist nicht klar, wieso dies der Schwerpunkt ist.

Die Höhe des Tetraeders wäre dann ja
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

edit:
dass das der schwerpunkt ist, folgt aus dessen definition und läßt sich leicht beweisen, z.b mit einem geschlossenen vektorzug
Sabine03 Auf diesen Beitrag antworten »

Also Zusammenfassend:



Statt AB kann man ja auch AC, BC, AF, BF oder CF nehmen, ist ja vom Betrag her alles das selbe.

Wenn ich nicht wüsste, dass der Schwerpunkt durch gegeben ist, wie kommt man drauf, magst du es mir bitte einmal verdeutlichen?
Sabine03 Auf diesen Beitrag antworten »

Mh moment mal... jetzt ist ja nicht gewährleistet das der Vektor, der die Länge der Höhe repräsentiert, senkrecht zur Dreiecksebene steht, oder? Also noch mal Normalenvektor (oder Normaleneinheitsvektor)?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von riwe
Zitat:
Original von Sabine03
Ok. Dann ist die Länge einer Seitenhalbierenden = . Und nun?


das ist korrekt.
einfacher ist folgender weg, um zum schwerpunkt zu kommen:



jetzt mußt du noch mit pythagoras die höhe H des tetraeders ausrechnen, tipp steht oben, und von S diese länge senkrecht nach oben/unten marschieren.
wie das geht, wirst du ja wissen Augenzwinkern


steht eh da.

ja, das ist der richtige weg.

normalenEINHEITSvektor Freude
Sabine03 Auf diesen Beitrag antworten »



So, Normaleneinheitsvektor ist logisch, stimmt, sonst würden wir ja die Länge von SF ändern.

Jetzt noch die Frage, wieso gilt..
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

perfekt.

zu deiner frage melde mich gleich
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

eine anmerkung:
statt würde ich schreiben Augenzwinkern

zum schwerpunkt (siehe bilderl)

(1)





in (1) einsetzen ergibt das gewünschte
Sabine03 Auf diesen Beitrag antworten »

Klasse! Sogar mit Zeichnung, vielen lieben Danke!

oder ? Und wieso ist das besser als ?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das ist sicher (nur) geschmackssache.
aber da wir sonst für den ortsvektor vom ursprung nach A geschrieben haben etc., scheint mir angebracht(er).
(Z steht in deinem 1. beitrag für die spitze)

nun hast du sogar die korrekte rechnung erbracht Freude
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