Wurzelziehen
Neue Frage »

04.07.2004, 10:12 Thot Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzelziehen
Seid gegrüßt!
Ich bin auf der Suche nach einem Algorithmus zum Wurzelziehen - und beim Googlen habe ich nur welche für die Quadratwurzel gefunden. Ich bräuchte also einen Algorithmus für folgende Form:
Besten Dank im Voraus!
04.07.2004, 11:57 therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Angenommen wir wollen die Wurzel aus 813.3904 berechnen.

Zahl hinschreiben und in 2er Gruppen vom Komma her einteilen

ab cd
Wurzel (8|13|.|39|04|00|00) = 28,52
-4 = a^2, größte Quadratzahl <= 8 --> a = 2
4 13 (*) : 48 b ist so zu finden, daß (20*a+b)*b den größten
-3 84 Wert <= (*) annimmt : 4<8> * <8> = 384 --> b=8
29 39 : 56c (56 = 28*2) --> c = 5 wegen 565 * 5 = 2825
-28 25
1 14 04 : 570d (570 = 285*2) --> d=2 wegen 5702 * 2 = 11404
-1 14 04
0

Ich hoffe du findest einigermaßen ein Schema in der Rechnung. Es ist
eigentlich immer so, das man die gefundenen Ziffern mal 20 nimmt und dann
eine Einerstelle sucht, die bei der Multiplikation der Zahl mit der
Einerstelle (wie bei c : 56<5> * <5>) kleiner als der Wert ist.


Quelle: Jörg Sommer, http://groups.google.com/groups?hl=de&lr...lr%3D%26hl%3Dde


Zitat:
Es gibt ein Verfahren, schriftlich Wurzeln zu ziehen, das der
schriftlichen Division ähnelt. Mit Konzentration und Übung lässt es
sich sicher im Kopf rechnen, wenn es geeignet formuliert wird.
So könnte es gehen:
Gesucht ist die Wurzel aus a. Wir schreiben das Ergebnis als 10x+y,
wobwi y einstellig sein soll. Dann gilt:
(10x + y)^2 = a oder 100x^2 + 20xy +y^2 = a
Man sieht, dass der erste Summend zwei Endnullen, der zweite eine hat.
Der dritte ist höchstens zweistellig. Daraus ergibt sich:
- Streiche von a zwei Stellen weg, nenne diese Zahl a0.
- Bestimme die grösste Quadratzahl, die kleiner oder gleich a0 ist.
Sie heisst b0, ihre Wurzel ist x.
- Ziehe b0 von a0 ab, hänge die nächste Ziffer von a dran.
- Teile das Ergebnis durch das Doppelte von b, ignoriere den Rest. Das
Ergebnis ist y.

Beispiel: Gesucht ist die Wurzel aus 54756.
- a0 = 547
- b0 = 529, x = 23
- a0 - b0 = 18
- y = 185 / (2*23) = 4
--> Die Wurzel aus 54756 ist 234


Quelle: Hartmut Rieg, http://groups.google.com/groups?hl=de&lr...lr%3D%26hl%3Dde

Mehr dazu: http://groups.google.com/groups?as_q=Wur...athe*&lr=&hl=de

Gruß, therisen
04.07.2004, 12:28 Thot Auf diesen Beitrag antworten »
Dank
Danke, aber sind das nicht Verfahren zum Quadratwurzel ziehen? Oder kann man diese modifizieren, so dass es auch mit der xten Wurzel geht?!
04.07.2004, 12:31 therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ooooooh sorry hab zu schnell gelesen traurig
04.07.2004, 12:42 therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hm also in Delphi wird die x.te Wurzel aus y so gezogen:

Exp(ln(y)/x);

wobei function Exp(X: Real): Real;

Exp returns the value of e raised to the power of X, where e is the base of the natural logarithms.

Also quasi: x.te Wurzel aus y := e^(ln(y)/x)

Vielleicht hilft dir das ja ein wenig weiter smile
04.07.2004, 12:56 Thot Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schon sehr viel besser Augenzwinkern
Aber: Dort wo ich her komme, da hab ich nur +, -, *, / zur Verfügung.
Gibt es also vielleicht auch eine Version wo man ohne Logarithmus nd Potenz auskommt?
Wenn nicht - wie heißt der Algorithmus um den Logarithmus zu errechnen - und wie errechnet man die Potenz aus gebrochenen Zahlen?
 Anzeige 
 
04.07.2004, 13:09 therisen Auf diesen Beitrag antworten »



Je höher n gewählt wird, desto genauer ist die Näherung. smile

Für die Potenzen schau dir mal folgende Äquivalenz an:
04.07.2004, 13:35 Thot Auf diesen Beitrag antworten »

Dank -
aber, bei der Potenz, wenn b = 2,5 ist
also, ich zum Beispiel 5^2,5 rechnen will...
04.07.2004, 13:40 therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thot
Dank -
aber, bei der Potenz, wenn b = 2,5 ist
also, ich zum Beispiel 5^2,5 rechnen will...


Denk doch mal logisch:

und

In welche Klasse gehst du denn? Ich vermute nämlich du übernimmst dich mit dem Thema ein wenig, kann das sein?
04.07.2004, 14:03 Thot Auf diesen Beitrag antworten »

Danke auch dafür, auch wenn mir das schon klar ist - aber wenn ich einfach keine Möglichkeit habe, eine Wurzel zu ziehen...

Nochmal, damit wir das nicht vergessen:
Ich habe die Grundrechenarten zur Verfügung.
Ich möchte die xte Wurzel aus y errechnen.
Dazu brauche ich den Logarithmus und die Potenz!

Um zu potenzieren brauche ich aber die Wurzel - das geht nicht, weil ich die Funktion nicht verwenden kann! Und "zwei Potenzfunktionen" zu schreiben, ist mir zu doof...
Gibt's nicht eine andere Möglichkeit?
04.07.2004, 14:28 therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Warum hast du denn nur die Grundrechenarten zur Verfügung? Wenn du das in Form eins Computeralgorithmus machen musst, könntest du das alles in Schleifen abhandeln, das wäre kein Problem. Welchen Sinn macht es, sich bei einem solch rechenaufwendigem Thema auf die Grundrechenarten zu beschränken? Wir sind doch nicht Buschmann
04.07.2004, 14:36 Thot Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass dein ln(x) falsch ist - weil
float logarithm(float x, float y)
{
float z = 0;

for(int i = 0; i <= y; i++)
{
z = z + i * (potency(x - 1, 2 * i + 1) / ((2 * i + 1) * potency(x + 1, 2 * i + 1)));
}

z *= 2;

return z;
}
gibt ein anderes Ergebnis als mein Taschenrechner, und ich habe deine Formel zur Grundlage genommen - kann auch sein, dass ich mich vertippt habe...
04.07.2004, 14:49 therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Nö meine Formel stimmt.

Für x=15 und n=40 ergibt sich eine Abweichung von 0,00005442363402%... Wenn dir diese Genauigkeit nicht langt, musst du k eben erhöhen Augenzwinkern
04.07.2004, 15:03 Thot Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber ich hab es jetzt einmal in C und einmal in Pascal geschrieben - und nach deiner Formel bekomme ich von ln(2) immer 0,0284... raus - aber mein Taschenrechner und Google sagen: 0,693...
Was kriegst du denn raus?
04.07.2004, 15:28 therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da war tatsächlich ein Fehler in der Formel.

Das k vor dem Bruch war falsch. Hat sich wohl ein Tippfehler eingeschlichen Augenzwinkern Habs oben editiert smile
04.07.2004, 15:48 Thot Auf diesen Beitrag antworten »

Schön - jetzt funktioniert's Augenzwinkern Nun hast du - oder sonst jemand - eine Idee, wie man eine Potenz mit ohne die Wurzel errechnen kann?
04.07.2004, 15:58 therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, dazu fällt mir nur folgendes ein:



Wähle einfach y=0

EDIT: Hmm, nee, das bringt hier nix...


EDIT 2: Vielleicht geht's ja mit einer Taylorreihe?
04.07.2004, 21:29 SirJective Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzelziehen
@Thot:
Wie schonmal gefragt:
Willst du die n-te Wurzel von x "von Hand" ausrechnen, oder lässt du einen Computer oder Taschenrechner rechnen?

Für letzteres kannst du z.B. eine iterative Näherungsformel benutzen:
Wir wollen die n-te Wurzel aus x bestimmen, wobei n eine natürliche Zahl ist.

Wir setzen b_0 = 1, und berechnen für jedes i von 0 bis unendlich (oder bis wir keine Lust mehr haben oder das Ergebnis genau genug ist):

Die Folge (b_0, b_1, ...) konvergiert (jedenfalls in der Theorie) gegen die n-te Wurzel von x.

@therisen:
Eine Taylorreihe zu verwenden würde auch gehen, allerdings muss man da auch genau schauen, wo man entwickelt und wie weit man addieren muss. Wenn ich woanders als bei 1 entwickle, hab ich schonmal das Problem, dass ich die Wurzeln der Entwicklungsstelle brauche.

Gruss,
SirJective
05.07.2004, 17:31 Thot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzelziehen
Danke! Das bringt mich schon ein großes Stück weiter, da ich tatsächlich einen Computer benutze: Allerdings bleibt da immer noch die Frage im Raum stehen: Was ist, wenn n eine nicht natürliche Zahl ist? Zum Beispiel Pi [gut, mit dem Computer geht es ja nicht, aber wie kann ich sie bis zu einer "beliebig" großen Stelle errechnen?]
05.07.2004, 18:13 Shopgirl Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Thot,

für beliebige reelle Exponenten (egal ob du x^r oder die r-te Wurzel suchst) bleibt dir nur der Umweg über den Logarithmus und die e-Funktion. Beide kannst du relativ einfach als Reihe darstellen.

Eine schnell konvergierende Logarithmus-Reihe hat therisen schon genannt, wobei ich da noch den Faktor (x-1)/(x+1) vorher bestimmen würde, damit sich die Reihe zu

vereinfacht.

Die Exponentialreihe

konvergiert auch relativ schnell.

Wie schnell die Konvergenz tatsächlich ist, kann man relativ leicht durch Untersuchung des Restgliedes bestimmen. Schliesslich willst du auch wissen, wie genau dein Ergebnis tatsächlich ist. In der Praxis spielt es aber auch noch eine Rolle, mit welcher Zahlendarstellung dein Computer arbeitet, weil sich Rundungsfehler durchaus mal bemerkbar machen.
13.07.2004, 14:40 Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab gerade durch mein OPAL Buch gestöbert und einen interessanten Ansatz zur Berechnung der Quadratwurzel gefunden



<=>



<=>



(Die Äquivalenzschritte sind unter der Bedingung geschehen das x > 0 ist !)

Mittels Newtonverfahren wird jetzt die "positive" Nullstelle errechnet, diese Nullstelle entspricht der Wurzel von a. Ich denke dieses Verfahren ist insbesondere auch für die n-te Wurzel möglich da du ja als Gleichung immer



bekommst, und du so immer eine Nullstelle auf der positiven Achse hast. Das Newtonverfahren lässt sich sehr einfach, besonders was Ableitungen von x^n -a betrifft, implementieren. Vieleicht eine (zugegeben späte) alternative zu dem genannten Augenzwinkern . Man muss sich dann halt nur überlegen, ab welcher differenz von f_n+1(x) -f_n(x) du das Program stopst
13.07.2004, 15:25 Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Anwendung des Newton-Verfahrens auf f(x)=x²-a ist nichts anderes, als was seit dem Altertum schon unter dem Namen "Heron-Verfahren" bekannt ist.
13.07.2004, 15:37 Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
gut, mit dem Computer geht es ja nicht, aber wie kann ich sie bis zu einer "beliebig" großen Stelle errechnen?]


Brauchst du eigentlich einen Algorithmus der dir die n-te Stelle der m-ten Wurzel liefert oder einen Algorithmus der diese Zahl einfach berechnet?

Für einen einfachen Berechnungsalgorithmus (wie der von mir genannte) wirst du bei 32bit zahlen eine Genauigkeit von 23 bits (nachkomma) und bei 64bit Zahlen eine Genauigkeit von 52 bits (nachkomma) haben, also bei 32bits wirst du die wurzel nur noch stark approximatisch dargestellt haben, und 64 sicherlich bei speziellen beispielen (wurzel2) auch.

Für die n-te Stelle der Wurzel fällt mir grad gar kein algorithmus ein, aber für diesen könntest du deine Genauigkeit beliebig erweitern, in etwa als String speichern etc.

@ leopold

Das Heron-verfahren sagte mir bis zu deiner Erwähnung garnix :P
13.07.2004, 15:45 Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

siehe
http://www.matheboard.de/lexikon/index.p...es_Wurzelziehen
13.07.2004, 16:03 Thot Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Für die n-te Stelle der Wurzel fällt mir grad gar kein algorithmus ein, aber für diesen könntest du deine Genauigkeit beliebig erweitern, in etwa als String speichern etc.

Wie erweitere ich die Genauigkeit eines nicht vorhandenen Algorithmuses nochmal? Augenzwinkern
13.07.2004, 16:25 Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie erweitere ich die Genauigkeit eines nicht vorhandenen Algorithmuses nochmal?


Sei also *unbekannt* ein Algorithmus der dir die n-te Stelle der m-ten Wurzel aus a liefert.

Wir bauen uns eine Schleife.. lassen die von 1 bis n laufen ...
Berechnen jeweils den i-ten Nachkommawert der Wurzel ... und schreiben ihn irgendwo rein wo es Sinn macht (String????)
14.07.2004, 13:10 Guevara Auf diesen Beitrag antworten »

Kennt ihr nicht den Algo


Es funktioniert wie beim Newtonverfahren. Man nimmt einen Startwert z.B. 10 und setzt ihn ein. Die Lösung lässt man wieder durch und das so lange wie man will. Dabei ist n der Wurzelexponent und a der Radikand.
Vielleicht kann man mit ihm auch komplexe wurzeln finden, wenn man eine komplexe zahl als startwert nimmt.
17.03.2006, 21:36 Opa Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzelziehen - verständlich
Schriftliches Wurzelziehen

Vorwort
Das Bestimmen von Wurzeln, dritten Wurzeln, vierten, fünften usw. Wurzeln ist eigentlich leicht und einfach.
Allerdings darf man nicht den im ganzen Netz verbreiteten Fehlansatz mit sogenannten binomischen Formeln benutzen, der endet nämlich bei der Quadratwurzel, ist daher unzureichend und deshalb als Einstieg ins Wurzelziehen falsch und überflüssig. Dieser binomische Ansatz ist allerhöchstens eine Anwendung der Formel, taugt aber nicht zum allgemeinen Wurzelziehverfahren, da er nicht weit genug führt, führen kann.
Eine zweite im Netz verbreitete Version, das Verfahren nach Newton, manchmal auch Heron genannt, ist oft mit unverständlichen Formalismen garniert, die ebenfalls überflüssig sind, ja schädlich sind, will man das Wurzelziehen grundlegend verstehen.

Nach diesem Vorwort werden die meisten Netzseitenverfasser gewiß diesen Beitrag wieder löschen, weil ihnen vermutlich an der Sache selbst nichts liegt, an einer wirklich verständlichen Darstellung des Wurzelziehens.

Das folgende Kapitel umfaßt das Berechnen der zweiten, dritten, vierten, fünften usw. Wurzeln.
Nach einer Begriffsklärung wird die Anschaungsgrundlage gegeben. Dann wird die Berechnung der Mittelwerte ausführlich dargestellt am eher ungewöhnlichen Beispiel der Quadratwurzel aus 16. Weiter wird danach die zweite Wurzel aus 17 gezogen, das bedeutet: annäherungsweise mit ca. fünf Stellen nach dem Komma berechnet.
Das Ziehen der dritten Wurzel bedarf ferner einer weiteren Anschauungsgrundlage am Würfel bzw. an einer Säule mit quadratischer Grundfläche, die dem Würfel angenähert wird.
Sind zweite und dritte Wurzeln anschaulich mit dem Mittelwertverfahren berechnet, dann lassen sich die Wurzeln aus den höheren „Dimensionen“ berechnen, insofern nämlich die beiden Rechenschritte des Mittelwertverfahrens selbst zur Anschauung geworden sind. – Ferner gehört heute das Ausführenkönnen der Grundrechenarten in einem Tabellenprogramm wie Excel mit zur Anschauung, weshalb anzuraten ist, das Mittelwertverfahren sich ebenfalls dort, etwa in Excel, einzurichten.
Zum Schluß werden einige wenige Anwendungen des Wurzelziehens angegeben.

Quadratwurzel

Begriffsklärung
Die Zahl, die mit sich selbst malgenommen 16 ergibt, ist 4. Man nennt 4 die Quadratwurzel aus 16. Die Wurzel aus 16 ist 4, denn 4 mal 4 ist 16.
Damit sind zwei Möglichkeiten gegeben, die Richtigkeit der Wurzel zu prüfen:
1. Die Wurzel mit sich selbst malgenommen muß die Ausgangszahl 16 ergeben.
2. Die Ausgangszahl 16 wird durch die Wurzel geteilt, es muß wieder die Wurzel herauskommen. 16 : 4 = 4.

Anschauungsgrundlage zur Quadratwurzel
Die Ausgangszahl 16 sei der Wert für den Flächeninhalt eines Rechtecks, F = 16. Eine Zahl für die Länge einer Seite sei 2. Die Länge der zweiten Seite wird bestimmt, indem man den Flächeninhalt 16 durch die Länge der ersten Seite teilt, also 16 / 2 = 8. Das Rechteck hat demnach die beiden Seitenlängen 2 und 8.
Die Seiten 2 und 8 sind verschieden lang, weder die Zahl 2 noch die Zahl 8 entsprechen der Wurzel aus 16. Erst wenn die Längen beider Seiten übereinstimmen, ist aus dem Rechteck ein Quadrat geworden.

Die Berechnung des Mittelwertes

Der Flächeninhalt des Rechtecks war 16. Der Wert der ersten Seite war 2. Die zweite Seite ergibt sich durch die Teilung 16 : 2 = 8. Aus den beiden Seiten 2 und 8 wird jetzt der Mittelwert gebildet.
Die Längen 2 und 8 werden dabei zusammengezählt, 2 + 8 = 10, und die Summe 10 wird anschließend gleichmäßig an zwei Seiten verteilt, also 10 : 2 = 5 = erster Mittelwert.

Prüfen

Es wird nun geprüft, ob der berechnete Mittelwert die Wurzel aus 16 sein kann. Dies geschieht, indem der Flächeninhalt 16 durch den Mittelwert 5 geteilt wird.
16 : 5 = 3,2. Die beiden Seitenlängen des Rechtecks sind jetzt 5 und 3,2, das heißt, es ist noch nicht annähernd ein Quadrat.

Wiederholung der letzten beiden Schritte: Mittelwert und Prüfen

1) Aus dem letzten Mittelwert (5) und aus dem Ergebnis der letzten Teilung (3,2) wird wiederum ein Mittelwert gebildet: (5 + 3,2) / 2 = 4,1 = (zweiter Mittelwert).
2) Prüfen 16 : 4,1 = 3,902439. Die Seitenlängen sind jetzt 4,1 und 3,902439. Da noch deutlich ein Rechteck vorliegt, werden die Schritte Mittelwertbildung und Prüfen weiter fortgesetzt:

a 1) Aus dem letzten Mittelwert (Mw 2 war 4,1) und dem letzten Teilungsergebnis (3,902439) wird wiederum ein Mittelwert gebildet: (4,1 + 3,902439) / 2 = 4,0012195 = (dritter Mittelwert).
a 2) Prüfen 16 : 4,0012195 = 3,9987809.
Die Seitenlängen sind nunmehr schon fast gleich. Die nächsten Wiederholungsschritte:

b 1) Aus dem letzten Mittelwert (Mw 3 war 4,0012195) und dem letzten Teilungsergebnis (3,9987809) wird wiederum ein Mittelwert gebildet: (4,0012195 + 3,9987809) / 2 = 4,00000018584459 = (vierter Mittelwert).
b 2) Prüfen 16 : 4,00000018584459 = 3,9999998141554200.

Der vierte Mittelwert ist bereits sechs Stellen nach dem Komma genau.

Die Werte wurden mit einem Tabellenprogramm (Excel) berechnet. Dieses kann mit 15 Stellen ungefähr doppelt soviele Stellen anzeigen wie ein normaler achtstelliger Taschenrechner.

Berechnung der Quadratwurzel aus 17

Zuerst schreibt man die Zahlen von 1 bis 10 untereinander in eine Spalte und schreibt in eine Spalte daneben deren Quadratzahlen, also etwa




Wurzel; Quadrat

1................. 1

2................. 4

3................. 9

4.................16

5.................25

usw.
Diese nützliche Übung dient einer ersten Schätzung: Die Wurzel des Quadrates (mit der Fläche) 17 liegt zwischen 4 und 5, näher bei der 4. Als Anfangswert nehmen wir die 4. Durch ein solches erstes Schätzen verringern sich die auszuführenden Rechenschritte wesentlich.
1) Prüfen 17 / 4 = 4,25; Mw 1 = (4 + 4,25) / 2 = 4,125;
2) Prüfen 17 / 4,125 = 4,121212...; Mw 2 = (4,125 + 4,121212) / 2 = 4,123106.

Nach der Schätzung und den beiden Doppelrechenschritten ist der zweite Mittelwert auf fünf Stellen nach dem Komma genau. Ein Taschenrechner gibt 4,1231056; der Mittelwert 2 war 4,123106.

Dritte Wurzel

dritte Wurzel; Kubikzahl

1........................... 1

2........................... 8

3.......................... 27

4.......................... 64


5........................ 125

usw.

Gesucht wird die dritte Wurzel aus 100; sie liegt zwischen 4 und 5. Die erste Schätzung sei 4,5.

Anschauungsgrundlage
In geometrischer Deutung denke man an eine Säule mit der quadratischen Grundfläche 4,5 mal 4,5. Der Rauminhalt R sei 100. Der Rauminhalt berechnet sich R = Grundfläche mal Höhe.
Die Höhe läßt sich berechnen aus R geteilt durch die Grundfläche.
R ist 100, die Grundfläche aus den beiden Kanten 4,5 mal 4,5 ist 20,25.
Der Rauminhalt 100 ist daher zu teilen durch das Quadrat unserer Schätzung,
100 / 20,25 = 4,9382716. Die Kantenlängen sind damit 4,5 (Länge) sowie 4,5 (Breite) und in der Höhe 4,9382716. Wir haben also noch keinen Würfel mit drei gleichen Kantenlängen vor uns.

Berechnung des Mittelwertes
Der Mittelwert ist diesmal aus den drei Kantenlängen zu berechnen, also (4,5 + 4,5 + 4,9382716) / 3 = 4,64609053497942 = Mw 1 oder Annäherung 1.
Prüfen:
100 wird nun durch das Quadrat der letzten Annäherung geteilt; 100 / (4,64609053497942 mal 4,64609053497942) = 4,63259851205163.
Aus den beiden letzten angenäherten Kantenlängen, vgl. in Klammern, und aus dem letzten Teilungsergebnis 4,63259851205163 wird wiederum ein Mittelwert gebildet. Mw2 =
(2 mal 4,64609053497942 + 4,63259851205163) / 3 = 4,64159319400349 = Mw2.
Ein achtstelliger Taschenrechner gibt für die dritte Wurzel aus 100 den Wert 4,6415888.
Der zweite Mittelwert stimmt hier also bereits vier Stellen nach dem Komma.
Der nächste Mittelwert stimmt bereits mit zehn Stellen, und der übernächste Mittelwert überschreitet bereits die Anzeigemöglichkeiten gewöhnlicher Taschenrechner oder Tabellenprogramme.

Vierte, fünfte usw. Wurzeln

Beim Ziehen der zweiten Wurzel wurde die Zahl durch die Annäherung geteilt,
der Mittelwert wurde aus zwei Werten gebildet.

Beim Ziehen der dritten Wurzel wurde die Zahl durch das Quadrat der Annäherung geteilt, der Mittelwert wurde aus drei Werten gebildet.

Beim Ziehen der vierten Wurzel wird die Zahl durch die (Annäherung hoch 3) geteilt,
der Mittelwert wird aus vier Werten gebildet.

Bei der fünften Wurzel wird entsprechend die Zahl durch die (Annäherung hoch 4) geteilt,
der Mittelwert dann aus fünf Werten erstellt.

Ratschlag für Wurzelzieher: Man richte die Rechenschritte in Excel ein, das gibt dann mit wenig Aufwand Wurzelziehmaschinchen. Man vergesse nicht, jeweils vorweg, die Aufstellungen der Quadratzahlen, der Kubikzahlen usw. in Schätzspalten, - dies hat den Vorteil, daß man mit der zweiten oder dritten Mittelwertbildung schnell eine sehr hohe Genauigkeit erreicht.

Anwendungen
Zweite oder Quadratwurzeln: Die Lichtstärke verdünnt sich quadratisch zur Entfernung. Bei Photoapparaten stehen oder standen Vielfache der Wurzel aus 2 auf der Skala der Blendendurchmesser. Die Schwerkraft nimmt ab im Quadrat der Entfernung. Der Goldene Schnitt kann berechnet werden mit Wurzel aus 5; minus 1; davon die Hälfte. Die Normung eines Blattes Papier nach DIN bedarf der Anwendung der Quadratwurzel.
Höhere Wurzeln: Bei der gleichverhältigen, gleichstufigen Normung etwa von Nagelreihen bedarf es, bei 12 Nägelgrößen zwischen 1 cm und 12 cm des Reihenfaktors q, der 12 mal mit sich malgenommen den Wert 12 ergibt, also der zwölften Wurzel aus 12.
Bei der Stimmung eines Klavieres mit 12 Tönen in sogenannter gleichschwebender Stimmung hat man bisweilen die Töne der Oktave von 1 nach 2 mit der 12. Wurzel aus 2 genormt. Allerdings weichen die Töne dann von der Reinheit bzw. von einer reinen Stimmung ab. Ähnliches gilt für gewöhnliche zwölftönige Computermusikprogramme, deren Töne entsprechend bescheiden ausfallen.
In der musikalischen Centrechnung, eine Oktave = 1200 Cent, bedarf es zur Bestimmung eines Cent der 1200. Wurzel aus 2.

Quellenangabe
Das Mittelwertverfahren zur Berechnung der zweiten und der dritten Wurzel steht im Rechenbuch Neues Rechnen, 6. Schuljahr, Ernst Klett Verlag 1967, sowie im entsprechenden Lehrerheft Nr. 16166. Die Verfasser dieses Rechenbuches für Volksschulen waren Horst Karaschewski und Karl Odenbach. 1972 wurde das Buch allerdings nicht mehr zugelassen für den Gebrauch an Schulen, da man auf eine sogenannte Mengenlehre umstellte.
Literatur
H. Karaschewski, Wesen und Weg des ganzheitlichen Rechenunterrichts, Klett 1969; Wesen und Weg des ganzheitlichen Rechenunterrichts Teil II, Klett 1970; Irrwege moderner Rechendidaktik, Dürr 1969.
17.03.2006, 23:10 phi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführlichen Darlegungen. Aber was soll den am Verfahren von Heron kompliziert sein? Das kann man mit den 4 Grundrechenarten und Papier und Bleistift wunderbar nutzen. Nach höchstens 4 Rechnungen hat man schon ein für´s Auge ausreichende Genauigkeit.

Das zweite Argument für Heron: Die Erklärung des Verfahrens ist beträgt nur 1/4 so viel Worte und Zeichen wie die oben angegebene.

Andererseits: Jeder Weg hat seine Vorteile.

Ansonsten brauch´ich mir bald keine Bücher mehr kaufen, wenn du öfters mal so Beiträge schreiben solltest.. Augenzwinkern

mfg, phi
17.03.2006, 23:37 AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Opa
Die Zahl, die mit sich selbst malgenommen 16 ergibt, ist 4. Man nennt 4 die Quadratwurzel aus 16. Die Wurzel aus 16 ist 4, denn 4 mal 4 ist 16.
Damit sind zwei Möglichkeiten gegeben, die Richtigkeit der Wurzel zu prüfen:
1. Die Wurzel mit sich selbst malgenommen muß die Ausgangszahl 16 ergeben.
2. Die Ausgangszahl 16 wird durch die Wurzel geteilt, es muß wieder die Wurzel herauskommen. 16 : 4 = 4.

Sodann sollst du zählen bis 3, nicht mehr und nicht weniger. 3 allein soll die Nummer sein, die du zählest, und die Nummer, die du zählest, soll 3 und nur 3 sein. Weder sollst du bis 4 zählen, noch sollst du nur bis zur 2 zählen, es sei denn, daß du fortfährst zu zählen bis zur 3. Die 5 scheidet völlig aus.

Halt, wir sind ja hier gar nicht im Filmzitatethread - muss ich mich wohl geirrt haben... oder doch nicht? smile


P.S.: Entschuldigung, lieber Opa, das musste jetzt mal raus.
23.02.2007, 09:11 Opa Auf diesen Beitrag antworten »

"Das zweite Argument für Heron: Die Erklärung des Verfahrens ist beträgt nur 1/4 so viel Worte und Zeichen wie die oben angegebene."

Liebes Phi,
das oben von Opa mit zugegeben vielen Worten dargestellte Verfahren ist ja der Heron!
Führe es mal in Excel durch, wie beschrieben, - das dürfte doch nicht schwerfallen. Bastele also ein Wurzelziehmaschinchen für die zweite Wurzel, dann ein anderes für die dritte Wurzel, dann eines für die vierte Wurzel usw. Vergiß bitte nicht, vorweg jeweils die Schätzspalten aufzustellen.
Liebevolle Grüße vom alten
Opa
23.02.2007, 10:04 Opa Auf diesen Beitrag antworten »
Schtiftliches Wurzelziehen - verständlich
"Entschuldigung, lieber Opa, das musste jetzt mal raus."

Lieber Arthur,
die vielen Worte und Wiederholungen sind in der That nötig, wenn man einem Kind des sechsten Schuljahres das richtig verständliche Wurzelziehen nach "Heron" beibringen will. Sogar der Erwachsene versteht es dann besser.
Du kannst ja selbst mal in Excel ein Wurzelziehmaschinchen bauen, eines für die zweite Wurzel samt vorweg den Schätzspalten. Dann ein weiteres für die dritte Wurzel, eines für die vierte Wurzel usw.
Immer vorweg die Schätzspalten!
Falls Du dabei nach Opas ausführlichen Beschreibungen vorgehst,
wirst Du wohl den "Heron" von Grund auf verstehen können, - hofft Opa jedenfalls. Möglicherweise aber wirst Du den Teufel tun und bei wunderlichen Formeln bleiben wollen, die zwölfjährige Kinder niemals verstehen können.
Opa schreibt für Schüler dieses Alters, die ganz auf eine verstehbare Art das Wurzelziehen mit dem Mittelwertverfahren lernen können, grundlegend lernen können. Heron, dem man das Mittelwertverfahren zuschreibt, kannte die wunderlichen und wunderbaren Formalismen der heutigen Mathematik nicht. Und die ganze Menschheit konnte, mindestens seit Heron, alle Wurzeln mit dem Mittelwertverfahren leicht und mit ausreichender Genauigkeit bestimmen.
Warum soll das heute eigentlich nicht mehr möglich sein? - Opa weiß nämlich, daß die Schüler nach dem Gymnasium ganz schnell das Wurzelziehen vergessen haben, sofern es ihnen rein formalistisch eingedrillt worden war. Opas Heron aber dürfte verständlich sein und hat deshalb kein Verfallsdatum.
Liebe Grüße
23.02.2007, 11:30 AD Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber Opa,

es kann ja sein, dass manche eine ausgesprochene Formelallergie haben, denen werde ich deine Erklärung wärmstens empfehlen. Für alle anderen ist aber die Formelsprache gar nicht so übel, und in einem Zehntel der Zeit zu verstehen.

P.S.: Mal sehen, ob du dir für eine Erwiderung wieder 11 Monate Zeit lässt, oder diesmal nur 11 Minuten. Augenzwinkern
23.02.2007, 17:37 Opa Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzelziehen - verständlich
Lieber Arthur,

ja hast Du denn Opas letzten kleinen Beitrag genau genug gelesen? Ich schrieb vom sechsten Schuljahr, samt einer Altersangabe, Kinder mit 12 Jahren. Das war doch wohl präzise und mathematisch richtig.
Nun setze bitte einmal Deine eigenen Wurzelziehkünste hierhin, damit Opa sehen kann, was Du eigentlich meinst.
Mit welcher Formelsprache soll denn in einem Zehntel der Zeit vorgegangen werden können, wohlgemerkt, im sechsten Schuljahr? Das wäre für Opa außerordentlich interessant und sehr neu.
Vielen Dank für Deine ermunternden Worte!
23.02.2007, 18:35 AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zum Ziehen der -ten Wurzel einer positiven reellen Zahl verwende man die Iteration



mit einem beliebigen positiven Startwert, von mir aus . Durch bessere Wahl des Startwertes kann man die Anzahl der Iterationsschritte bis zu einer gewünschten Genauigkeit durchaus noch verkürzen.


Jetzt kannst du einwenden "das bringen Zwölfjährige noch nicht" - kann sein.

Ich halte es aber für wesentlich sinnvoller, den Schülern zuerst diese algebraischen Grundfertigkeiten beizubringen, als sie mit ellenlangen verbalen Wurzelziehbeschreibungen zu traktieren. Ich kann mir nämlich schwer vorstellen, dass das für sie die wahre Freude ist.



P.S.: Ich bin durchaus kein fanatischer Vertreter von Formeln, wenn man den Sachverhalt auch sprachlich vernünftig darstellen kann, siehe z.B. hier:

Vermutung: Kurven mit transzendenten Punkten

Aber irgendwann ist das Maß des vernünftigen für mich überschritten, und das ist für mich und auch andere bei deiner episch breiten Erklärung der Fall. Ich will dich auch gar nicht überzeugen, zu Formeln überzugehen. Aber genausowenig wirst du mich überzeugen, dass deine Methodik die bessere ist.


P.S.2: Deine salbungsvolle, fast an eine Predigt erinnernde Sprache ("Opa weiß [alles]") gefällt mir aber - weiter so. Freude
23.02.2007, 20:44 riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ot:
nur eine frage am rande, fasziniert und erschlagen von den psalmen:

bin ich auch so alt wie opa verwirrt


werner
23.02.2007, 21:31 sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

@Wernerin:

Kopf hoch Wink

wie war das nochmal?

mit 66 Jahren da fängt das Leben an....
23.02.2007, 22:19 riwe Auf diesen Beitrag antworten »

die botschaft höre ich....
danke
werner
23.02.2007, 22:52 Opa Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzeln - verständlich ziehen
Lieber Arthur,

der von irgendwo herbeizitierte Formalismus sagt erst einmal nichts.
Geschrieben und aufgefordert dazu hatte ich:
"Nun setze bitte einmal Deine eigenen Wurzelziehkünste hierhin, damit Opa sehen kann, was Du eigentlich meinst."
Es ist wohl wenig erfreulich, wenn einem irgendeine Formel vor den Kopf geknallt wird, wobei zugleich behauptet wird, das würden alle verstehen und jetzt, nur nach Betrachtung dieser ziemlich absurden Formel könnten alle Menschen dieser Welt Wurzeln ziehen.
Ich kann es jedenfalls nicht.
Und ich bezweifle bis zum Beweis des Gegenteils, daß Arthur selbst damit etwa die fünfte Wurzel aus 5555 ziehen kann, wenn er mit dem Startwert 1 anfängt.


„Jetzt kannst du einwenden "das bringen Zwölfjährige noch nicht" - kann sein.“

Ja, das wende ich in der That ein. Und in der bei Dir so beliebten salbungsvollen Sprache wende ich weiter so ein:
Das können 13jährige Kinder nicht,
das können 14jährige nicht,
das können 15jährige nicht.
Das kann Opa nicht.
Und das kann auch Arthur zunächst einmal nicht.
Denn er hat ja seine eigenen Wurzelziehkünste nicht vorgeführt, wie von Opa erbeten, sondern nur eine Formel von irgendwoher abgeschrieben.
Dieses Abschreiben einer meinetwegen salbungsfreien Formel, lieber Arthur, das kann den Opa nicht überzeugen, das kann auch keinen Schüler überzeugen, und es scheint mir nicht nur nicht die bessere Methodik zu sein, sondern gar keine Methodik.
Wer sagt denn, daß die Formel überhaupt stimmt, daß man sie überhaupt anwenden kann.
Darf ich noch weiter predigen?
Also: Um die aus dem Nichts hervorgezauberte Formel zu verstehen, muß man m und x und n und a
verstanden haben. Dies setzt einen Lehrgang in Algebra voraus. Man muß offenbar die Bruchrechnung, die Potenzrechnung, den Umgang mit eckigen und runden Klammern gelernt haben.
Nach Deinen Ausführungen, lieber Arthur, kann man das alles wohl schon im Kindergarten erlernen, falls ich Deine Meinung richtig deute. Glaube mal dem Opa, das ist nicht möglich.
Dem Opa liegt es fern, zu glauben, daß er den Arthur von irgendetwas überzeugen kann.
Allerdings würde Opa sich gerne von der praktischen Brauchbarkeit der Formel überzeugen lassen.
Opa ist nämlich sehr lernbereit, also, wie zieht man mit dieser Formel die fünfte Wurzel aus 5555?
Und bitte, lieber Arthur, bitte in einzelnen Schritten, Schritt für Schritt, ganz konkret mit Zahlen und mit dem Startwert 1, wenn es geht. Ich behaupte vorerst nämlich, es geht in der Praxis nicht.
23.02.2007, 23:16 Calvin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzeln - verständlich ziehen
*lol* was ist denn hier los?

Zitat:
Original von Opa
Allerdings würde Opa sich gerne von der praktischen Brauchbarkeit der Formel überzeugen lassen.
Opa ist nämlich sehr lernbereit, also, wie zieht man mit dieser Formel die fünfte Wurzel aus 5555?
Und bitte, lieber Arthur, bitte in einzelnen Schritten, Schritt für Schritt, ganz konkret mit Zahlen und mit dem Startwert 1, wenn es geht. Ich behaupte vorerst nämlich, es geht in der Praxis nicht.


Meinst du damit, dass man es nicht mit Bleistift und Papier ausrechnen kann? Oder zweifelst du die Korrektheit der Formel an?

in die Formel einsetzen und mit Excel rekursiv auflösen.

code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:

n	a_n
0	1,0000
1	1111,8000
2	889,4400
3	711,5520
4	569,2416
5	455,3933
6	364,3146
7	291,4517
8	233,1614
9	186,5291
10	149,2233
11	119,3786
12	95,5029
13	76,4023
14	61,1219
15	48,8976
16	39,1183
17	31,2951
18	25,0372
19	20,0326
20	16,0330
21	12,8432
22	10,3154
23	8,3504
24	6,9088
25	6,0147
26	5,6607
27	5,6106
28	5,6097
29	5,6097
30	5,6097
31	5,6097
32	5,6097


Ist das Ergebnis 5,6097 genau genug?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »


MatheBoard » Schulmathematik » Algebra » Wurzelziehen