Untervektorraum, Dimension einer Matrix

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Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum, Dimension einer Matrix
Hallo erstmal,
und zwar hab ich ne Frage zu einer Untervektorraumaufgabe:

U1 = {A e R^3x3 | a11 + a22 + a33 = 0}
Das es ein Untervektorraum ist ist mir klar, aber wieso hat der Untervektorraum die Dimension 8???
Wie kann des bei ner 3x3 großen Matrix möglich sein?^^
Schonmal vielen Dank für ne Antwort smile
steh wirklich aufm Schlauch Augenzwinkern
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Was für eine Dimension hat denn ?

Zitat:
Das es ein Untervektorraum ist ist mir klar, aber wieso hat der Untervektorraum die Dimension 8??? Wie kann des bei ner 3x3 großen Matrix möglich sein?^^

Ist dir bewust von was das hier ein Unterraum sein soll?

Ach ja: eine Matrix hat keine Dimension.
Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir gedacht die rede ist hier von einer 3x3 Matrix bei der die Einträge a11 + a22 + a33 = 0 sein sollen..
Und ich denk es soll ein Unterraum von allen anderen 3x3 Matrizen sein.
Aber anscheinend lieg ich damit ja falsch^^ wenn eine Matrix keine Dimension hat
Aber um was handelt es sich dann?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt Wie soll denn eine Matrix ein Untervektorraum sein?
Was heißt denn dieseMmengenschreibweise:

oder vielleicht einfacher


Im Rande gefragt: Weißt du was die Spur einer Matrix ist.
Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »

Ne von einer Spur einer Matrix hat unser Dozent noch nie geredet.
Aso des sind Quasi 3 Vektoren mit 3 zeilen? welche ich miteinander multipliziere?
und wenn ich die 3 Vektoren addiere soll der Nullvektor rauskommen?^^
Bin ich jetzt eher auf dem richtigen Weg? Und was hat das alles mit der 8 Dimension zu tun?
Schonmal danke für deine Antworten smile
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

und haben nicht viel miteinander zu tun außer der Schreibweise. (nicht umsonst sind sie verschieden benannt).

Also seperat: Was bedeutet diese Schreibweis .

Danach beschäftigen wir uns mit dem ganzen Rest, auch mit der Dimension.
 
 
Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »

3 Vektoren mit 3 Zeilen für die gilt x + y + z = 0 ?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht verwirrt dich mein Zeilenvektor:
.
Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »

achso ok
ja also des ist ein Vektor mit 3 zeilen für den gilt x+y+z=0 oder?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso den nur einer? Da sind Mengenklammern . Das ist die Menge aller Vektoren, die die Eigenschaften x+y+z=0 erfüllen.
Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »

ok stimmt^^ ja das macht Sinn smile
also in meinem Fall:
Jede Matrix für die giilt a11 + a22 + a33 =0 ?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Damit können wir uns der Frage zuwenden:
Zitat:
Was für eine Dimension hat denn ?

Ist dir klar was eine Basis ist? Eine Idee was eine für diesen Raum sein könnte?
Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »

Mit einer Basis kann ich jede Jede Matrix dieser Art erzeugen.
also z.B. (1,0,0) (0,1,0)(0,0,1)
und die Dimension ist doch dann normalerweise 3?
Oder war das der Rang? Ist da mein Problem?^^
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zu allem ein Nein:
Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Soll das
Zitat:
(1,0,0) (0,1,0)(0,0,1)
die Einheitsmatrix sein? Und die ist hier garantiert keine Basis.

Der Rang der Einheitsmatrix ist 3 und das hat gar nichts mit dieser Aufgabe zu tun.
Du musst dich offenbar dringend mit den Defintionen auseinandersetzen.
Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ok
ach das heisst der Rang muss 2 sein dann ist der Basisvektor (x,y,z) mit beliebigen Werten je nachdem wie die Matrix ausschaut?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe keine Ahnung wovon du hier sprichst.
Der Rang wovon? (nicht das der rang hier irgendeine Rolle spielen würde)
Was für ein Basisvektor? Die Basis besteht hier aus Matrizen. Im Raum der 3x3 matrizen gibt´s nur matrizen.
Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »

Bin grad auch verwirrt^^
kannst mir nicht bisschen auf die Sprünge helfen?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft´s wenn ich sage dass .
Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ok das heisst ich muss in meiner 3x3 Matrix eine Null haben damit ich zur Dimension 8 komme. Aber wieso hab ich immer eine Null?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das heißt es nicht.
Wie kommst du darauf? Und wieso sprichst du schon wieder von einer Matrix?
Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »

wegen R3x3 hab bis jetzt immer gedacht das ist ne Matrix mit 3 Spalten und 3 Zeilen?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Grad hab ich es doch schon wieder geschrieben:
Nicht eine Matrix. Das ist eine Menge von Matrizen. Und was hat das mit einer Null zu tun?
Als letzten Versuch meinerseits: Schreib mal zwei verschiedene Elemente von auf.
Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »





so meiner Ansicht nach wären das 2 verschiedene Elementen von unendlich vielen??

kann es sein das die Anzahl der Matrizen welche ich als Basis brauch meine Dimension darstellt?

also z.b.





aber wieso brauch ich dann nicht 9 sondern nur 8?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. z.B. aber auch und damit ist die Aussage zur Null wiederlegt.

Zur Bestimmung der Dimension von kann man auf die Suche nach einer Basis gehen oder man nutzt den Dimensionssatz für folgende Abbildung:
.

Und damit verabschiede ich mich in die Nacht.
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