Beweis endliche Menge

07.02.2012, 21:59

DerJoker

Beweis endliche Menge

Guten Abend,

es geht um die folgende Aufgabe...Zeige: Ist M eine endliche Menge, so gilt $\begin{eqnarray*} |M| = min\left\{n \in \mathbb N | \exists f:M \to \left\{ 1,...,n\right\} injektiv \right\} \end{eqnarray*}$ .

Sei n das besagte Minimum. Zeige: $\begin{eqnarray*} Im(f) = \left\{1,...,n \right\} \end{eqnarray*}$ .
" $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ": Klar.
Andere Inklusion: Sei $\begin{eqnarray*} y \in \left\{1,...,n \right\} \end{eqnarray*}$ . Da f injektiv ist gilt:
$\begin{eqnarray*} \exists ! x \in M: f(x) = y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \forall x \in M: f(x) \neq y \end{eqnarray*}$ .
Fall 1: Dann ist $\begin{eqnarray*} y \in Im(f) \end{eqnarray*}$ .
Fall 2: Dann ist auch f abgebildet auf $\begin{eqnarray*} \left\{1,...,n \right\} \setminus \left\{y\right\} \end{eqnarray*}$ injektiv. Dann wäre aber n nicht minimal.
Also gilt: $\begin{eqnarray*} Im(f) = \left\{1,...,n \right\} \end{eqnarray*}$ .
Da M endlich ist gibt es eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} h: \left\{1,...,m\right\} \to M \end{eqnarray*}$ . Dann ist aber die Veknüpfung von f und h ebenfalls bijektiv. Somit gilt n = m = |M|. Ist das so korrekt?

Schönen Gruß,
DerJoker

07.02.2012, 22:45

Abakus

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RE: Beweis endliche Menge

Zitat:

Original von DerJoker
Sei n das besagte Minimum. Zeige: $\begin{eqnarray*} Im(f) = \left\{1,...,n \right\} \end{eqnarray*}$ .

Hallo,

deine Idee ist gut, denke ich.

Geschickter wäre es statt n als Minimum eine andere Variable zu nehmen (denn das n steht ja schon in der Mengendefinition gebunden).

Problematischer ist dein f, das fällt vom Himmel ohne Definition. Ein Beweisleser steckt an der Stelle fest. Du nimmst irgendeine injektive Funktion?

Abakus smile

07.02.2012, 23:19

DerJoker

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RE: Beweis endliche Menge
Hi Abakus,

Zitat:

Original von Abakus

Geschickter wäre es statt n als Minimum eine andere Variable zu nehmen (denn das n steht ja schon in der Mengendefinition gebunden).

Ok dann sein mein n' das besagte Minimum.

Zitat:

Problematischer ist dein f, das fällt vom Himmel ohne Definition. Ein Beweisleser steckt an der Stelle fest. Du nimmst irgendeine injektive Funktion?

Abakus smile

Ok. Sei $\begin{eqnarray*} f: M \to \left\{1,...,n' \right\} \end{eqnarray*}$ injektiv. Reicht das so aus? Ich bin mir gerade nicht sicher wie du das meinst. Muss ich erst noch zeigen, dass es überhaupt eine injektiv Funktion gibt? Das ist ja schon so, da M endlich ist. Oder soll ich konkret noch eine Funktionsvorschrift angeben?

Schönen Gruß,
DerJoker

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