Isomorphie

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07.02.2012, 23:46	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie Hallo miteinander Meine Aufgabe lautet wie folgt: Zeige, dass S_3 x Z/4Z und Z/24Z nicht isomorph zueinander sind. Zuerst einmal: Wie kann ich mir S_3 x Z/4Z vorstellen? (also was ist das genau) Dann: Muss ich einfach zeigen, dass es keine Bijektion zwischen S_3 x Z/4Z und Z/24Z gibt? MfG, Thomi
08.02.2012, 01:04	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} S_3\times Z/4 \end{eqnarray}$ ist das kartesische Produkt aus den genannten Gruppen, stell dir die Elemente einfach als 2-Tupel vor, wo das erste Element aus $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ und das zweite aus $\begin{eqnarray} Z/4 \end{eqnarray}$ stammt. Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} S_3\times Z/4\ncong Z/24 \end{eqnarray}$ gilt, musst du die Nichtexistenz einer Gruppenisomorphie zeigen, was nicht ganz das gleiche ist wie eine einfache Bijektion. Siehe z.B. hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppenisomorphismus
08.02.2012, 07:47	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo thomas. ich gebe dir mal einen tip: wenn zwei endliche mengen isomorph sind, dann müssen sie ja auch gleichviel elemente haben. Wieviel elemente hat S_3xZ/4Z ? Wieviel elemente hat Z/24Z ? Können die beiden mengen dann isomorph sein? gruss ollie3
08.02.2012, 08:02	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
@olli: Eine Bijektion existiert, die beiden betrachteten Mengen sind gleichmächtig, $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ hat 6 Elemente und $\begin{eqnarray} \mathbb Z_4 \end{eqnarray}$ hat 4 Elemente. Die Grupe $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{24} \end{eqnarray}$ ist zyklisch, ist die Gruppe $\begin{eqnarray} S_3 \times \mathbb Z_{4} \end{eqnarray}$ auch zyklisch? Wenn ja, dann werden Erzeuger aufeinander abgebildet. Was bedeutet das?
08.02.2012, 11:13	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für eure Antworten. @blubbel: Also kann ichs so darstellen: S_3 x Z/4Z = {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2, 0), .... (3,3) } Oder ist das falsch (da dies bei S_3 einfach die bezeichneten Ecken sind, und somit nicht nur 3, sonder 6 Elemente bestehen). In diesem Fall wäre S_3 x Z/4Z (nach wikipedia-Notation): S_3 x Z/4Z = { (e,0), (e, 1), (e, 2), (e, 3), (d, 0), ...., (s_3, 3)} Ich frage so "dumm", weil ich die symmetrische Gruppe eigentlich nur in Form der Permutationsdarstellung kenne. Wie ich nun aber die Nicht-Existenz eines Isomorphismus zeigen kann, ist mir noch nicht so klar. @ollie3: S_3 hat ja eigentlich 6 Elemente. 64 = 24, also gleich viele wie Z/24Z. Wenn ich aber nur die bezeichneten Ecken nehmen würde, also 34..dann wären die Mengen nicht gleichmächtig. Aber Igrizu hat das glaube ich gemeint, dass diese Argumentation hier nicht klappt. @Igrizu: Ja, da S_3 zyklisch ist und Z/4Z ebenfalls. Da aber 6 und 4 nicht teilerfremd zu 24 ist, folgt, dass es kein Isomorphismus gibt. Ist das korrekt?
08.02.2012, 11:27	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ wirklich zyklisch? Ich denke eher nicht, denn zyklische Gruppen sind insbesondere auch abelsch, und sicherlich ist $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ nicht abelsch. Betrachte dazu erst eine Drehung um 120° und danach eine Spiegelung an einer der Mittelsenkrechten, zum Beipiel an $\begin{eqnarray} s_1 \end{eqnarray}$ , es ist $\begin{eqnarray} d \circ s_1=s_3 \neq s_2= s_1 \circ d \end{eqnarray}$ , dabei ist d eine Drehung um 120° und die Spiegelungen sbeginnen im mathematischen Drehsinn bei der Mittelsenkrechten der "rechten Seite" des Dreiecks. Also, nicht zyklisch. Edit: Habe gerade ein Bild zur Nummerierung der Spiegelungen bei Wikipedia gefunden: [attach]23046[/attach]
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08.02.2012, 15:23	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die ausführliche Erklärung. Das macht Sinn! Noch eine Frage: Die Argumentation von ollie3 ist also falsch, oder? (also hier - wenn die Mengen unterschiedlich viele Elemente haben, sind sie auch nicht isomorph) Und ist die Menge so korrekt notiert? (nach wikipedia-Notation) S_3 x Z/4Z = { (e,0), (e, 1), (e, 2), (e, 3), (d, 0), ...., (s_3, 3)}
08.02.2012, 15:30	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Aussage ist an sich richtig, zwei Gruppen unterschiedlicher Ordnung können nicht isomorph sein, da ein Isomorphismus eine bijektion ist und Diese nur existiert, wenn die Gruppen die gleiche Ordnung haben. Aber die beiden Gruppen $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{24} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S_3 \times \mathbb Z_4 \end{eqnarray}$ haben gleich viele Elemente, nämlich beide 24, also eine beliebige Bijektion existiert, weshalb die Begründung bezogen auf diese Aufgabe einfach nicht zu gebrauchen ist. Olli wollte argumentieren, dass ja noch nicht einmal eine Bijektion exisztiert, aber die ist schnell konstruiert. Es existiert aber kein Isomorphismus, und um das zu begründen kann man ausnutzen, dass eine Gruppe zyklisch ist und die andere eben nicht.
08.02.2012, 15:38	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen herzlichen Dank PS: Ist mein Notationsvorschlag ok so?
08.02.2012, 15:46	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo thomas und igrizu, sorry an euch, ich hatte fälschlicherweise angenommen, dass Z4 5 elemente und Z24 25 elemente hat, so kam es zu meinem falschen hinweis. gruss ollie3
08.02.2012, 15:52	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Notation: Ich glaube das ist einfach Definitionssache "S_3 x Z/4Z = { (e,0), (e, 1), (e, 2), (e, 3), (d, 0), ...., (s_3, 3)}" sollte ok sein, wenn irgendwo noch definiert ist, wofür das e, d, ..., s_3 stehen (oder falls es allgemein bekannt ist).
08.02.2012, 15:56	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ja eben, hab auch keine "Konvention" gefunden. Danke euch allen!
08.02.2012, 15:57	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde mich gar nicht so sehr an der Notation aufhalten. Hast du denn schon irgendwas brauchbares um zu zeigen, dass die beiden Gruppen nicht isomorph sind?
08.02.2012, 16:15	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, also ich dachte: Da S_3 nicht zyklisch ist, ist S_3 x Z/4Z nicht zyklisch. Nun hoffe ich, dass es einen Satz gibt, der sagt, dass es keine eindeutige Bijektion zwischen einer zyklischen und einer nicht-zyklischen Gruppe gibt. (bzw. dass eine zyklische und eine nicht-zyklische Gruppe nicht isomorph sein können).
08.02.2012, 17:37	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, ob es einen solchen Satz gibt, aber mal rein logisch gedacht: Sei a das erzeugende Element der zyklischen Gruppe A. Dann muss f(a) ein erzeugendes Element der Gruppe B sein. Da B aber kein solches besitzt, kann f keine Isomorphie sein. wegen f(aa)=f(a)f(a)
08.02.2012, 17:41	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde logisch klingen, ja. (bisher habe ich noch keinen solchen Satz gefunden..wahrscheinlich gilt dies so nicht allgemein)
08.02.2012, 20:50	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Alleine schon die Tatsache, dass eine Gruppe abelsch ist und die andere nicht reicht aus. Es ist $\begin{eqnarray} f(a+b)=f(a) \circ f(b) \neq f(b) \circ f(a)=f(b+a)=f(a+b) \end{eqnarray}$ , solche Elemente existieren, da die Gruppe ansonsten abelsch wäre, Widerspruch.

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