Exponentialfunktionen rechnen |
| 08.02.2012, 00:27 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Exponentialfunktionen rechnen Der Holzbestand eines Waldes wächst erfahrungsgemäß um 3,8% jährlich. Zwei Forstwirte haben heute je einen Walt mit einem Holzbestand von 20 000 Festmeter. Sie nutzen den Walt unterschiedlich: Forstwirt Christian Holzmacher schlägt jährlich 500 Festmeter Holz heraus. Forstwirt Rober Waldmann lässt den Wald 5 Jahre unbewirtschaftet, schlägt aber dann 2 500 Festmeter heraus. 1. Fertige eine Skizze an, die die Entwicklung der beiden Holzbestände wiedergeben! 2. Wie groß ist der Bestand der beiden Wälder, nachdem die entsprechenden Schlägerung um 5. Jahr vorgenommen wurde? Erkläre, warum sich die beiden Bestände voneinander unterscheiden! 3. Geldmangel bringt Forstwirt Waldmann dazu, bereits heuer 5 000 Festmeter Holz zu schlagen. Versuche durch Probieren mit dem Taschenrechner ( auf eine Dezimale ) zu ermitteln, wann der Holzbestand wieder seinen ursprünglichen Bestand hat! 2. A= y= 20 000*1,038-500 Ergebnis wieder * 1,038-500 etc. Nach 5Jahren= 21402,63 Ich weiß hier nicht wie ich das richtig anschreibe. B= y= 20 000*1,038 = Ergebnis * 1,038, nach 5Jahren - 2500= 21599,98. 3. 20 000 - 5000= 15 000. Ich weiß jetzt nicht genau wie ich an das Ergebnis. Nach 7 JAhren bin ich an Nähesten. 2. Bei günstigen Bedingungen ( Feuchtigkeit, Wärme und Nährstoffe ) vermehrt sich Bakterien relativ rasch ( zB die des Zahnbelags ). angenommen sie verdoppeln sich alle a) 15min b) 30min c) 60 min bzw. bei Verwendung einer Zahnpaste d) 120min, wie viele Bakterien entstehen dann innerhalb eines TAges aus einer einzigen ? a. 24h = 1440 min. ---- Error bei Aufgabe 2. lg |
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| 08.02.2012, 00:45 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aufgabe 2= 24h = 1 Tag 24* 60 = 1440. 1440 / X = J. 2^J = Ergebnis welche wir brauchen. Bsp. 15min. 1440/15= 96. 2^96= 7,92282^28. Gilt für die Annahme, sie vermehrt sich alle 15min. Im Jahr 2000 waren die zwei bevölkerungsreichsten Staaten der Erde China mit 1,27*10^9 Einwohnern und Indien mit ebenfalls 1,27*10^9 Einwohnern. Das Bevölkerungswachstum Chinas beträgt 1,07% jährlich und das Indiens etwa 1,92% jährlich. 1. Ermittle unter obigen Annahmen die voraussichtliche Bevölkerungszahl der beiden Länder in den Jahren 2020, 2040, 2060 und 2100 und stelle jene graphisch dar! 2. Lies aus dem Schaubild ab: Wann etwa leben in Indien um 200 Millionen Menschen mehr als in CHina ? 2. In vielen Ländern der Erde wächst die Bevölkerung. In den zwei Orten A und B aber nahm die Bevölkerungszahl in den letzten 30 Jahren durchschnittlich um 0,4% pro Jahr ab. 2001 betrug sie 85 685 Einwohner. 1. Gib Formeln an, um die Bevölkerungszahl nach t Jahren berechnen zu können! Nimm dazu a) eine Lineare B) eine exponentielle Entwicklung an. 2. Zeichne die beiden Graphen für t E [0;100] 3. Nach einer der beiden Annahmen müsste die Bevölkerung dieser zwei Orte aussterben. Wann wäre dies und wie viele Einwohner hätten die Bezirke A und B zu diesem Zeitpunkt nach der anderen Annahme ? |
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| 08.02.2012, 11:22 | gast2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Exponentialfunktionen rechnen
Bleiben wir zunächst bei einer Aufgabe (Hier ist keine Hausaufgabenmaschine)! Hast Du zu 1. der Aufgabe die Skizze gemacht? Diese sollte Dir helfen den Sachverhalt zu erfassen (Visualisierung). Dann würdest Du das Schema erkennen: Zu 2. Fall Holzmacher (H) nach 1. Jahr: 20.000 fm * 1,038 - 500fm= H1 fm nach 2. Jahr: H1 fm * 1,038 - 500 fm = H2 fm ... nach 5. Jahr: H4 fm * 1,038 - 500 fm = H5 fm Fall Waldmann (W) nach 1. Jahr: 20.000 fm*1,038 = W1 fm nach 2. Jahr: W1 fm *1,038 = W2 fm ... nach 5. Jahr: W4 fm * 1,038 -2.500 fm = W5 fm oder gleich (mit Potenzrechnung) nach 5. Jahr: 20.000 fm * 1,038^{5} -2.500 fm = W5 fm Deine Ergebnisse sind zahlenmäßig o.k. Zu 3. Fall Geldmangel Waldmann Es soll gelten (20.000 fm - 5000 fm) * 1,038^{a} = 20.000 fm (1) a ist die Anzahl Jahre die der Wald wächst (um die 5000 fm wieder aufzuholen). Dein Ergebnis a = 7 Jahre ist "etwas knapp"! 8 Jahre wäre richtiger. Die exakte Berechnung erfolgt durch Logarithmenrechnung 7,7135278002268097535253037100586. Tipp: Stelle die obige Gleichung (1) nach 1,038^{a} = um und setze für a = 7 ein. Dann ist erst knapp das 1,3-fache des Wald vorhanden also das 0,3-fache nachgewachsen. Waldmann will aber wieder den 1,33_-fachen Wald (20.000 fm/15.000 fm =4/3 =1,333_)! |
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| 08.02.2012, 11:25 | gast2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Exponentialfunktionen rechnen
Rechne mit größeren Maßeinheiten der Zeit! min. ---> h ---> d |
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| 08.02.2012, 11:42 | gast2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ergebnis a) stimmt, aber was ist mit b), c) und d)? |
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| 08.02.2012, 15:21 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich fand, einfach gleiches Schema. Aber das wie ich es anschreibe ist doch falsch. Da muss doch sowas wie f(x) = stehen ? ! lg Ps Das sind keine Hausübungen, ich habe überall die Ergebnisse, ich muss das alles bis Freitag können. |
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| 08.02.2012, 16:25 | gast2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Falsch ist es nicht, nur nicht sehr mathematisch. Dann schreibe doch: - Anzahl nach Zeit t bzw. nach x Perioden (P) - Anfangsanzahl x - Periodenanzahl (=t/P) t - Zeit(-raum), hier 24 Stunden P - Periodendauer ( a) bis d) verschieden!) B - Basis, hier 2 da Verdoppelung. |
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| 10.02.2012, 13:42 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt kommen die 2 schwereren Aufgaben dieser Lektion. IM Jahr 2000 waren die zwei bevölkerungsreichsten Staaten der Erde China mit 1,27*10^9 Einwohnern und Indien mit ebenfalls 1,27*10^9 Einwohnern. Das Bevölkerungswachstum Chinas beträgt 1,07% jährlich und das Indiens etwa 1,92 % jährlich. 1. Ermittle unter obigen Annahmen die voraussichtliche Bevölkerungszahl der beiden Länder in den Jahren 2020, 2040, 2060, 2080 und 2100 und stelle jene graphisch dar! 2. Lies aus dem Schaubild ab: Wann etwa leben in Indien um 200 Millionen Menschen mehr als in China ? 2. In vielen Ländern der Erde wächst die Bevölkerung. In den Orten X und J aber nahm die Bevölkerungszahl in den letzten 30 Jahren durchschnittlich um 0,4 % pro Jahr ab. 2001 betrug sie 85 685 Einwohner. 1. Gib Formeln an, um die Bevölkerungszahl nach t Jahren berechnen zu können! Nimm dazu a) eine Lineare b) eine exponentielle Entwicklung an! 2. Zeichne die beiden Graphen für t E [0;100]! 3. Nach einer der beiden Annahmen müsste die Bevölkerung dieser zwei Orte aussterben. Wann wäre dies und wie viele Einwohner hätten die Orte X und J zu diesem Zeitpunkt nach der anderen Annahme ? lg |
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| 10.02.2012, 14:42 | gast2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da kümmern wir uns mal noch um Deine andere "Baustelle". 1. Aufgabe: IM Jahr 2000 waren die zwei bevölkerungsreichsten Staaten der Erde China mit 1,27*10^9 Einwohnern und Indien mit ebenfalls 1,27*10^9 Einwohnern. Das Bevölkerungswachstum Chinas beträgt 1,07% jährlich und das Indiens etwa 1,92 % jährlich. 1.) Ermittle unter obigen Annahmen die voraussichtliche Bevölkerungszahl der beiden Länder in den Jahren 2020, 2040, 2060, 2080 und 2100 und stelle jene graphisch dar! 2. Lies aus dem Schaubild ab: Wann etwa leben in Indien um 200 Millionen Menschen mehr als in China ? Zu 1.) Wie berechnest Du die Einwohnerzahlen der beiden Länder zu den entsprechenden Zeitpunkten? Welche Funktion(sformel) bzw. Gleichung? Zur grafischen Darstellung benötigst Du wahrscheinlich keine Hilfe!? Für die zweite Aufgabe bitte später einen neuen Beitrag eröffnen! "2. In vielen Ländern der Erde wächst die Bevölkerung. In den Orten X und J aber nahm die Bevölkerungszahl in den letzten 30 Jahren durchschnittlich um 0,4 % pro Jahr ab. 2001 betrug sie 85 685 Einwohner..." |
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| 10.02.2012, 16:33 | gast2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zur Inspiration! |
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| 10.02.2012, 16:47 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
thx |
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| 10.02.2012, 17:00 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f(x) = 1,27*10^9 * 1,07^xJahre für China f(x) = 1,27*10^9 * 1,92^xJahre für Indien right ? lg |
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| 10.02.2012, 19:13 | gast2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1. x sind die Jahre seit 2000! Unterschied klar? 2. Für China hast Du 7% und für Indien 92% jährliches Bevölkerungswachstum berechnet! Im ersten Jahr sind es 100% (1,27*10^9 Einwohnwe). Im zweiten Jahr 1,07% und 1,92% ??? Wohl eher 101,07% und 101,92%! 101,07% = ....... ? und 101,92%= ...... ? Tipp: 100%=1 |
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| 10.02.2012, 19:35 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f(x) = 1,27*10^9 * 1,0107^xJahre für China f(x) = 1,27*10^9 * 1,0192^xJahre für Indien Ist meine Schreibweise f(X) richtig ? ca. 2030 leben in Indien 200miio mehr x) |
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| 10.02.2012, 19:50 | gast2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Formeln f(x) richtig. 
Ich berechne eine Differenz von +499.193.214 Einwohnern für 2030!
________China__________Indien_________Diff. 2030__1.747.719.340__2.246.912.554__+499.193.214 |
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| 10.02.2012, 20:04 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Thx Bis später, bzw. Morgen. G8 Nochmals Thx. |
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| 12.02.2012, 18:09 | gast2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In welchem Jahr beträgt die Differenz 200 Mio. Einwohner? |
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| 12.02.2012, 19:46 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich rechne zuerst für ein Jahr die Differenz aus, danach dividiere ich 200.000 durch diese u erhalten die Jahre ? ! lg |
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| 12.02.2012, 19:50 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f(x) = 1,27*10^9 * 1,0107^xJahre für China f(x) = 1,27*10^9 * 1,0192^xJahre für Indien Unterschied: 10795000. 18,52710 Jahre. lg |
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| 12.02.2012, 21:10 | gast2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"...dividiere ich 200.000 durch diese u..." 
Die Aufgabe war: In welchem Jahr beträgt die Differenz 200 Mio. Einwohner? (Tipp: Wie Du aus dem Kurvenverlauf (Diagramm 10.02.2012 16:33 Uhr) sehen kannst wird die Differenz immer größer. Wenn Du also zu einem Jahr die Differenz ausrechnest und die Differenz ist kleiner 200 Mio. --> spätere Jahresdifferenz berechnen. Anderenfalls --> frühere Jahresdifferenz berechnen. Wenn ~ 200 Mio. dann ist die berechnete und die gesuchte Jahreszahl gleich.) |
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| 13.02.2012, 14:40 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, bei 15 Jahren wäre es ca 199mio Unterschied. Gibs hier keine Formel womit man es genau ausrechnen kann. (zb. auf den Tag genau.) lg |
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| 13.02.2012, 17:08 | gast2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(Im Jahr 2015, also nach 15 Jahren beträgt die Differenz 199.420.560 Einwohner ~ 200 Mio. Einwohner.) Formeln schon: Nun nur noch nach x auflösen! ... Und da beginnt das Problem! Das geht rechnerisch nicht. Grafisch aber schon: |
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| 13.02.2012, 17:22 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Verstehe zwar das Bild nicht ganz, jedoch verstehe ich das man sich nur annähern kann X) ps, Andere Exponent. Aufgaben x) anderer Thread 
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| 13.02.2012, 17:42 | gast2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Diagramm zeigt die Differenz. Also die Gleichung verkürzt auf für Jahr=2000+x. |
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| 13.02.2012, 17:44 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
verstehe. Thx |
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| 18.04.2012, 14:24 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Verstehe ich nicht ganz im nachhinein. Also mit der Gleichung hast du das Jahr ausgerechnet, in welchem der Bevölkerungsunterschied 200mio beträgt. |
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| 18.04.2012, 21:09 | gast2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Fast! Mit der (Differenz-)Gleichung wird der Bevölkerungsunterschied (y: in Mio.Einw.) in Abhängigkeit der Zeit (x: in Jahren. Achtung, Beschriftung der x-Achse: x + 2000 in Jahr, da Zeitpunkt 0 = Jahr 2000!) dargestellt. Um das Jahr zu finden in dem die Differenz 200 Mio. Einw. beträgt, geht man vom y-Wert 200 Mio. nach rechts zum Schnittpunkt mit dem Graph. Von diesem senkrecht nach unten auf der x-Achse ist das Jahr 2015 ablesbar. Im Jahr 2015, also für Jahre x=15 (2015-2000), ist die Bevölkerungsdifferenz y=200 Mio.! |
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