Summe zweier komplexer Zahlen in der Euler'schen Polarform

08.02.2012, 01:44	Lumpi23	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe zweier komplexer Zahlen in der Euler'schen Polarform Gegeben sind zwei reellwertige Sinussignale gleicher Frequenz, die zu addieren sind: $\begin{eqnarray} s_{1}(t) = 5\cos(2 \pi 100\frac{t}{s} + \frac{\pi}{3} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_{2}(t) = 4\cos(2 \pi 100\frac{t}{s} + \frac{\pi}{4} ) \end{eqnarray}$ Aufgabe: Bestimmen Sie das Summensignal $\begin{eqnarray} s_{3}(t) = s_{1}(t) + s_{2}(t) \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: Die gemeinsame Frequenz, die beiden Phasoren X und die jeweiligen komplexen Sinusfunktionen z: $\begin{eqnarray} \omega = \frac{200\pi}{s} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_{1} = e^{i\frac{\pi}{3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_{2} = e^{i\frac{\pi}{4}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{1}(t) = 5X_{1}e^{i\omega t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{2}(t) = 4X_{2}e^{i\omega t} \end{eqnarray}$ damit komme ich dann auch schon zu dem Term der mir die Schwierigkeiten macht: $\begin{eqnarray} z_{3}(t) = z_{1}(t) + z_{2}(t) = e^{i\omega t} ( 5e^{i\frac{\pi}{3}} + 4e^{i\frac{\pi}{4}}) \end{eqnarray}$ Ich bin noch relativ neu bei den komplexen Zahlen und habe deshalb gerade ein Brett vorm Kopf wie ich da vorgehe. Wenn ich die beiden Phasoren in Sinus und Cosinus zerlege, bekomme ich zwar wunderschöne Werte heraus, jedoch nachher eine Zahl, mit der ich nicht weiter komme: $\begin{eqnarray} 5e^{i\frac{\pi}{3}} + 4e^{i\frac{\pi}{4}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (5\cos(\frac{\pi}{3}) + i5\sin(\frac{\pi}{3})) + (4\cos(\frac{\pi}{4}) + i4\sin(\frac{\pi}{4})) \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} = (2,5+2\sqrt{2}) + i(2,5\sqrt{3}+2\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ Wie komme ich von hier möglichst Elegant wieder zur Euler'schen Polarform, damit ich oben mit $\begin{eqnarray} e^{i\omega t} \end{eqnarray}$ multiplizieren kann? Wenn ich versuche den Betrag und vor allem das Argument zu berechnen, bekomme ich Meterlange Terme. Komme ich um die Wurzel von Re²+Im² für den Betrag und arctan(Im/Re) für das Argument nicht herum? Ich hoffe, ich habe einen anderen Fehler gemacht, denn eigentlich sind die Zahlen der Aufgabe ja so gewählt, dass alles schön aufgehen sollte. Dass in den gegebenen Funktionen der Aufgabenstellung der Faktor 2 im Kosinus herausgezogen ist, hat mich gewundert. Vielleicht liegt da der Hase im Pfeffer? mit vielem Dank im Vorraus, André
08.02.2012, 09:12	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Signalsumme $\begin{eqnarray} y=A_1\sin(\omega t+\phi_1)+A_2\sin(\omega t+\phi_2) \end{eqnarray}$ kann man mit den Additionstheoremen nach kurzer Rechnung schreiben als $\begin{eqnarray} y=\sin(\omega t)\cdot [A_1\cos(\phi_1)+A_2\cos(\phi_2)]+\cos(\omega t)\cdot [A_1\sin(\phi_1)+A_2\sin(\phi_2)] \end{eqnarray}$ Dies willst du als einfache Sinus funktion $\begin{eqnarray} y=A\sin(\omega t+\phi) \end{eqnarray}$ mit gleicher Frequenz ausdrücken. Diese gesuchte Sinusfunktion schreiben wir ebenfalls mittels Additionstheoremen als $\begin{eqnarray} y=A\sin(\omega t)\cos(\phi)+A\cos(\omega t)\sin(\phi) \end{eqnarray}$ Vergleich der beiden letzten Funktionen liefert die Forderungen $\begin{eqnarray} A\cos(\phi)=A_1\cos(\phi_1)+A_2\cos(\phi_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\sin(\phi)=A_1\sin(\phi_1)+A_2\sin(\phi_2) \end{eqnarray}$ Das ist ein Gleichungssystem für die Konstanten $\begin{eqnarray} A,\,\phi \end{eqnarray}$ . Addiert man die Quadrate der beiden letzten Gleichungen bzw. dividiert man diese Gleichungen, erhält man 2 neue Gleichungen $\begin{eqnarray} A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\phi_1-\phi_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tan(\phi)=\tfrac{A_1\sin(\phi_1)+A_2\sin(\phi_2)}{A_1\cos(\phi_1)+A_2\cos(\phi_2)} \end{eqnarray}$ Nach Umstellen hat man die gesuchten Konstanten $\begin{eqnarray} A=\sqrt{...} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi=\arctan(...) \end{eqnarray}$ und kann diese in die obige, einfache Sinusfunktion einsetzen.
08.02.2012, 09:37	Lumpi23	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für Deine Antwort! Bei der Umsetzung offenbaren sich mir aber zwei Probleme: 1) Was mache ich mit der Phase der Ausgangssignale? 2) Weil beide Signale cosinus-Schwingunen sind, soll ich dann für das sin(wt) dann cos(pi/2-wt) einsetzen? Gruß, André
08.02.2012, 09:52	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Rechnung nochmals mit Phasen gemacht, die ich vorher vergessen hatte (Siehe oben). Ich habe mit 2 Sinusfunktionen gerechnet, wogegen Du als Ausgangsfunktionen zwei Kosinusfunktionen hattest. Das ist aber unwesentlich. Du kannst meine Formel nehmen, indem du deine beiden gegebenen Kosinusfunktionen als Sinusfunktionen "umschreibst" mit der bekannten Formel cos(x)=sin(90-x).

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